[Limites] Exponencial

por **Marlon Teofilo** » Ter Jan 22, 2013 14:23

Oi boa tarde.

Estou com dificuldades em resolver um limite.

é o seguinte:

$\lim_{\infty}{(\frac{x+1}{x-1})}^{2x}$

entao, iniciei separando em duas frações, ambas com demoninador (x-1), fazendo os limites separados.

$\lim_{\infty}{(\frac{x}{x-1})}^{2x} + \lim_{\infty}{(\frac{1}{x-1})}^{2x}$

O segundo termo cheguei à conclusão que é 1/infinito=0

O primeiro termo conclui que a resposta do limite é e^2, após mudar a base e todo aquele processo de sempre, hehehehe, gostaria de saber se está correto, pois desconfio que não! kkkkkkkk

por **e8group** » Ter Jan 22, 2013 17:43

Cuidado!

$\left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x} \neq \left( \frac{x}{x-1}\right)^{2x} + \left( \frac{1}{x-1}\right)^{2x}$

Como dica note que , $\frac{x + 1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$ .

Logo , $\left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x} = \left( 1 + \frac{2}{x-1}\right)^{2x}$

e portanto , $\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1} \right )^{2x} = \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x}$ .

Além disso , tomando $w = \frac{2}{x-1}$ .Quando $x \to \infty , w \to 0$ .Fazendo as substituições ,

$\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x} = \lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1}$

Usando as propriedades $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$ e $a^{b\cdot c} = \left(a^{b}\right)^{c}$ e também dos limites, uma delas do produto .

Segue então : $\lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1} = \left[\lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{1/w }\right]^4 \cdot \lim_{w\to 0} (1 + w) = e^4$ .

Obs.: Para compreender a resolução veja os limites fundamentais em especial o limite fundamental que denomina-se o número Euler . Para ler mais , http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler .

por **Marlon Teofilo** » Ter Jan 22, 2013 18:01

Obrigado, minha duvida realmente era se eu utilizei a propriedade de forma correta, e errei hehehehe

vlw mano, entendi!!!

por **lyppeferreira_** » Sáb Abr 04, 2020 15:33

e8group escreveu:Cuidado!

$\left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x} \neq \left( \frac{x}{x-1}\right)^{2x} + \left( \frac{1}{x-1}\right)^{2x}$

Como dica note que , $\frac{x + 1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$ .

Logo , $\left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x} = \left( 1 + \frac{2}{x-1}\right)^{2x}$

e portanto , $\lim_{x\to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1} \right )^{2x} = \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x}$ .

Além disso , tomando $w = \frac{2}{x-1}$ .Quando $x \to \infty , w \to 0$ .Fazendo as substituições ,

$\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x} = \lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1}$

Usando as propriedades $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$ e $a^{b\cdot c} = \left(a^{b}\right)^{c}$ e também dos limites, uma delas do produto .

Segue então : $\lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1} = \left[\lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{1/w }\right]^4 \cdot \lim_{w\to 0} (1 + w) = e^4$ .

Obs.: Para compreender a resolução veja os limites fundamentais em especial o limite fundamental que denomina-se o número Euler . Para ler mais , http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler .

Como você chegou nessa $\frac{x + 1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$
Tô travado nessa passagem. Eu tentei pela propriedade do quociente dos limites, mas não cheguei nesse resultado que vc conseguiu.

por **adauto martins** » Dom Abr 05, 2020 11:20

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