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[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

Mensagempor Miine_J » Sáb Nov 10, 2018 03:13

Boa noite pessoal.
Então, estou tendo muita dificuldade de achar limites de integração depois de feita uma mudança de variáveis, porque nem sempre sei qual o gráfico que a mudança gera nem sei como se deveria calcular algebricamente. Vejo o pessoal fazendo certos calculos pra achar, mas n entendo qual a lógica, se alguém pudesse explicar seria ótimo. Um exemplo em que não sei como calcular:

1. Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:

\int_{1}^2 \int_{0}^x (x^2+y^2)^{-1}  dydx

Os exemplos mais "triviais" são okay, mas esses exemplos q precisa de algum calculo ou coisa do tipo n entendo como deve ser feito. Pensei em substituir x^2+y^2 por r^2 mas sinceramente n sei oq fzr dps dai
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Re: [Limites de Integração] Como achar os limites de integra

Mensagempor Gebe » Sáb Nov 10, 2018 17:36

Antes, convém lembrar que em coordenadas polares:
\\
x=rcos(\theta)\\
y=rsen(\theta)\\
\sqrt[]{x^2+y^2}=r\\
dxdy=rd\theta dr

Temos duas formas para avaliar essa integral, uma é redesenhar a figura a partir das integrais dadas e então reescrever as integrais nas novas coordenadas, já a outra forma é fazer a substituição das variaveis diretamente.
A segunda normalmente é menos trabalhosa, mas nem sempre.

Vamos fazer utilizando a susbstituição.

Como tu sugeriu, a função fica 1/r², precisamos então mudar os limites.

Os limites da variavel "y" são [0 , x], logo:
\\
0\leq y\leq x\\
Substituindo:\\
0\leq rsen\theta \leq rcos\theta\\
\\
O\;limite\;à\;esquerda\;permanece\;inalterado\;(origem\;do\;sistema)\\
À \;direita:\\
rsen\theta \leq rcos\theta\\
\theta \leq \frac{\pi}{4}

Agora passamos para os limites de "x", [1 , 2]:


Agora podemos montar as integrais:
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr
\\
\frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\
\\\right| \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\
\\\right) \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}ln(2)

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Re: [Limites de Integração] Como achar os limites de integra

Mensagempor Miine_J » Dom Nov 11, 2018 08:17

Gebe escreveu:
Agora podemos montar as integrais:
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr
\\
\frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\
\\\right| \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\
\\\right) \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}ln(2)

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.


Sim, obrigada, ajudou sim!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}