[Ajuda não entendi o enunciado] Limites

por **elisafrombrazil** » Sáb Jan 21, 2017 10:39

Sejam a, b, c reais fixos e suponha que, para todo x, $|a+ bx + cx^2| \leq |x^3|$ .

Mostre que a = b= c = 0

por **elisafrombrazil** » Dom Jan 22, 2017 15:01

elisafrombrazil escreveu:Sejam a, b, c reais fixos e suponha que, para todo x, $|a+ bx + cx^2| \leq |x^3|$ .

Mostre que

por **e8group** » Qua Fev 01, 2017 16:57

Hey !

Dicas :

1) Para obter a =0

basta tomar x = 0

2) Uma vez 1) estabelecido , temos a seguinte desigualdade $|bx + cx^2| \leq |x|^3 (*)$ .
Observe-se que o lado esquerdo de (*)

pode ser escrito como |x| |b + cx|

e o direito como |x| x^2

.
Daí , para $x \neq 0$ , cancelando os |x|

's , temos a desigualdade equivalente a (*)

,

$0 \leq |b+cx | \leq x^2$ com $x \neq 0$ .

Observe

não vive no domínio acima , mas o mesmo é pto de acumulação . Logo , podemos aplicar o limite com $x \to 0$ e usar O teorema do confronto para obter b = 0

.

Uma vez estabelicido isso , temos a simples desigualdade $0 \leq |c| |x| = | cx| \leq x^2$ com $x \neq 0$ . Novamente cancelando os |x| 's , e passando ao limite com $x \to 0$ o resuktado vem ....