[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

por **Hoteri** » Seg Dez 05, 2016 23:56

Boa noite, amigos. Há muito tempo tento resolver este problema:

Seja $z=f(x,y)$

. Considere $g(u,v)=uf(u^2, 2uv)$

. Calcule $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}(1,1)$ se $f(1,2)=4$, $\nabla f(1,2)=(3,-1)$, $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(1,2)= \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(1,2)=1$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial x \,\partial y}(1,2)=-1$ .

Primeiramente, calculei $\dfrac{\partial g}{\partial v}$ :

$\dfrac{\partial g}{\partial v}=u\cdot\dfrac{d}{dv}f(u^2,2uv)+0 \cdot f(u^2,2uv)=u\cdot\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\dfrac{dx}{dv}+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\dfrac{dy}{dv}\right)=2u^2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

E, então, $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}$ :

$\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial g}{\partial v}\right)=\dfrac{\partial}{\partial u}\left(2u^2\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)= 4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\dfrac{dx}{du}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)\dfrac{dy}{du}\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(2u\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+2v\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\right)$

Não sei se estou fazendo isto corretamente. Sou novo nesta área do Cálculo e, no meio do caminho da resolução, sinto que me perdi e não sei como prosseguir a partir daqui ou relacionar com os dados disponibilizados no enunciado. Agradeço a ajuda desde já.

por **adauto martins** » Qui Dez 08, 2016 09:09

primeiramente vamos encontrar uma expressao para z=f(x,y)

usando as condiçoes a),b)...
a diferencial total de z=f(x,y)

é dado por:
$\Delta f(x,y)=(\partial f/\partial x).dx+(\partial f/\partial y).dy$ ...com a condiçao b)teremos:
f(x,y)=3x-y+c

,onde c é devido a integraçao indefinida...usando a condiçao a) $f(1,2)=3.1-2+c=4\Rightarrow c=3...$ ,logo:
$z=f(x,y)=3x-y+3\Rightarrow g(v,u)=u.f({u}^{2},2uv)=u.(3{u}^{2}-2uv+3)$ $\Rightarrow g(u,v)={u}^{3}-2{u}^{2}.v+3u...$ ,usandos as outras condiçoes procede-se o calculo da derivada mista,calcule-o...