ex.resolvido-limite por definiçao

por **adauto martins** » Ter Ago 02, 2016 10:58

mostre,usando a definiçao por $\varepsilon,\delta$ ,que:
$\lim_{x\rightarrow 1}{x}^{2}=1$ ...
soluçao:
da definiçao,teremos que:
dado um $\varepsilon\succ 0$ ,existe pelo menos um $\delta\succ 0$ tal que:
$\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \varepsilon$ ...
$\varepsilon,\delta$ sao tais que: $0\prec (\varepsilon,\delta)\prec 1$ ,sempre:
entao escolhemos um $\varepsilon \succ 0$ ,e vamos a procura de pelo menos um $\delta \succ 0$ (existem infinitos,por que?)que satisfaça a igualdade $\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \varepsilon$ ...
teremos entao que:
$\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1).(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec \left|x+1 \right|.\delta$ ...agora é usar as desiqualdades triangulares e encontrar esse $\delta$ ...
temos q.: $\left|x+1 \right|\preceq \left|x \right|+1$ ...como o limite esta sendo calculado nas proximidades de 1,podemos tomar $\left|x \right|\prec 1\Rightarrow \left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta\prec (\delta+1).\delta=\varepsilon$ ,ou ainda $\left|x \right|\prec 1\Rightarrow \left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta\prec (1+1).\delta=2.\delta=\varepsilon$ $\Rightarrow \delta=\varepsilon/2(ou...\delta=\varepsilon/k,k\in N)$ e etc...geralmente escolhemos o menor $\delta$ possivel,o qual sera o supremo do intervalo $(0,{\delta}_{m})$ ,onde ${\delta}_{m}={SUP}_{(0,{\delta}_{k})}$ ,mas tambem podemos tomar qquer $\delta \succeq {\delta}_{m}$ ,que satisfaça $\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \varepsilon$ ...vamos encontrar um $\delta$ ,apartir da algebra das desiqualdades:
temos q.: $\left|x \right|-1\preceq \left|x-1 \right|\prec \delta \Rightarrow \left|x \right|\prec (\delta+1)...$ ,teremos entao q: $\left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta\preceq (\delta+1).\delta=\varepsilon$ ,logo ${\delta}^{2}+2\delta -\varepsilon=0\Rightarrow \delta=-1-\sqrt[]{(1+\varepsilon)}(esse nao serve)...\delta=-1+\sqrt[]{(1+\varepsilon)}$ ...entao:
$\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1)(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec(\left|x \right|+1).\delta\prec ({\delta}+2).\delta$ $\prec {(-1+\sqrt[]{(1+\varepsilon})}^{2}+2(-1+\sqrt[]{(1+\varepsilon)}=\varepsilon...$

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