[Calculo 1] Polinômio de Taylor

por **LuisLemos** » Seg Ago 01, 2016 22:36

Boa noite, estou tendo dificuldades nesta questão. Consegui fazer a letra B, mas a A não. Ficarei grato caso alguem possa me ajudar.

Se a expressão da segunda derivada de f, em função de

é $f''(x) = \frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2}$ , e sabendo que f(1) = 1, f'(1) = e

,

A) Aproxime f(x)

por um polinômio de grau 2 em torno de x = 1.

B) Determine f(x)

.

Colocarei o que eu consegui fazer abaixo:

"Letra b":

Se $f''(x) = \frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2}$ ,

Então $f'(x) =\int\frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2} dx$

Logo f'(x)

= $e^x - \frac{1}{x} + c$

Como f'(1) = e

(1) = $e^1 - \frac{1}{1} + c$ = e

c = 1

Portanto

= $e^x - \frac{1}{x} - 1$

O mesmo raciocínio é válido para encontrar f(x)

:

Se

= $e^x - \frac{1}{x} - 1$ ,

Então $f(x) = \int\((e^x -\frac{1}{x} - 1) \ dx$

Logo $f(x) = e^x -ln\left|x \right| +x +c$

Como f(1) = 1

$f(1) = e^1 - ln\left|1 \right| +1 +c = 1$

c = - e

Logo $f(x) = e^x -ln \left|x \right| +x -e$

Já para a letra A, eu não sei o que fazer para encontrar uma aproximação para f(x) através de um polinômio de grau 2.

por **Cleyson007** » Ter Ago 02, 2016 12:40

Olá, bom dia amigo!

O polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x) ao redor de p é dado por:

${P}_{2}(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+\frac{f"(p)}{2}(x-p)^2$

Comente qualquer dúvida.

Caso queira conhecer melhor o nosso trabalho, acesse:
viewtopic.php?f=151&t=13614

Abraço,

Prof. Clésio

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