[Integral Indefinida]

por **barbs** » Dom Jul 10, 2016 18:24

Não estou conseguindo resolver esta integral indefinida:

I = x² - 1/ x² + 1

Minha professora resolveu de um jeito colocando vários ''1'' inicialmente, só que não entendi o porque.

por **DanielFerreira** » Dom Jul 10, 2016 20:54

Olá Barbs, seja bem-vindo(a)!

$\\ I = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \\\\\\ I = \frac{x^2}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}$

A primeira fracção sai por substituição; a segunda pode ser obtida com a tabela de integral.

por **barbs** » Dom Jul 10, 2016 21:32

Obrigada Daniel! Tu poderia fazer mais detalhadamente o início? É que estou meio confusa com essa matéria. D:

por **DanielFerreira** » Ter Jul 12, 2016 01:00

Calculemos a integral da primeira fracção, ou seja, $\mathsf{\int \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx}$ .

Por substituição simples, consideremos $\mathsf{x^2 + 1 = \lambda}$ , então $\mathsf{x = \sqrt{\lambda - 1}}$ ; por conseguinte, $\mathsf{dx = \frac{d\lambda}{2\sqrt{\lambda - 1}}}$ .

Substituindo,

$\\ \mathsf{\int \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx =} \\\\\\ \mathsf{\int \frac{\lambda - 1}{\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{2\sqrt{\lambda - 1}} =} \\\\\\ \mathsf{\int \frac{\lambda}{\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{2\sqrt{\lambda - 1}} - \int \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{2\sqrt{\lambda - 1}} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{1}{2} \int \frac{d\lambda}{\sqrt{\lambda - 1}} - \frac{1}{2} \int \frac{d\lambda}{\lambda\sqrt{\lambda - 1}} =}$

Obs1.: $\mathsf{x^2 + 1 = \lambda \Leftrightarrow 2x \, dx = d\lambda}$ .

Voltando à variável $\mathsf{x}$ , temos que:

$\\ \mathsf{\frac{1}{2} \int \frac{2x \, dx}{x} - \frac{1}{2} \int \frac{2x \, dx}{(x^2 + 1)x} =} \\\\\\ \mathsf{\int dx - \int \frac{dx}{(x^2 + 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\left [ x \right ] - \left [ \arctan \, x\right ] + c_1 =}$

Obs2.: $\mathsf{\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \left ( \frac{u}{a} \right ) + c}$ .

Por fim, basta resolver a segunda fracção (usando Obs2) e somar o resultado encontrado com o que encontrei.

Espero ter ajudado!!

por **barbs** » Dom Jul 17, 2016 12:44

Obrigada!

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