[Limites] Retas normal e tangente

por **Huovi** » Dom Abr 24, 2016 01:10

A questã é a seguinte: "Encontre a área do triângulo formado pelo eixo dos X e as retas tangente e normal à curva y = 6x – x2 no ponto ( 5 , 5)."
Bem, cheguei na reta tangente y= 20x -95 e na reta normal y=(x+95)/20. Massss, como que eu faço pra calcular a área do triângulo que ele pede? Já tentei até desenhar o gráfico pra ver se clareava um pouco as coisas, mas não tá dando.
Agradeço desde já quem puder ajudar

por **DanielFerreira** » Dom Abr 24, 2016 15:09

Olá Huovi! De acordo com minhas contas, a reta que encontrou não é a tangente. Veja como fiz:

Queremos encontrar a recta tangente da curva f(x) = 6x - x^2

no ponto

. Fazemos isso pela definição de limites ou pelo conceito de derivada. Farei por derivada, pois é menos trabalhoso!

Para encontrarmos a equação de uma recta tangente a uma curva dada, num determinado ponto, derivamos a equação da curva e substituímos a abscissa na derivada encontrada.

$\\ f(x) = 6x - x^2 \\ f'(x) = 6 - 2x \\ f'(5) = 6 - 2 \cdot 5 \\ \boxed{f'(5) = - 4}$

Como podes notar, temos a inclinação e um ponto, já somos capazes de descrever a equação da recta tangente.

Com isso, temos que y = - 4x + 25

e $y' = \frac{x + 25}{4}$ são as equações das rectas tangente e normal, respectivamente.

A meu ver, podes encontrar a área usando Geometria Plana e/ou Analítica. Use (base x altura)/2.