Cálculo 1- Derivação

por **johnatta** » Sex Jun 12, 2015 10:32

encontre todos os pontos sobre a curv x^2 + y^2 + xy=2 onde a inclinação da reta tangente é -1

por **nakagumahissao** » Sex Jun 12, 2015 14:52

johnatta,

Sempre que postar aqui, por favor, diga-nos o que já tentou fazer para que esta interatividade não seja somente para que você copie o que foi resolvido. Desta forma, nós aqui apenas estaremos resolvendo as questões para você sem que você aproveite alguma coisa. O objetivo deste site é fazer com que cada pessoa aprenda um pouco mais do que sabia antes. Então, por favor, sempre diga-nos por gentileza o que já tentou fazer para resolver o problema, caso contrário, poderá ficar sem ter a ajuda esperada.

Resolução:

Encontre todos os pontos sobre a curva x^2 + y^2 + xy=2 onde a inclinação da reta tangente é -1

Quando dizemos inclinação da reta tangente é -1, queremos dizer que:

[1] $m = \frac{dy}{dx} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -1$

No círculo trigonométrico, existem dois pontos onde isto ocorre: Nos segundos e quartos quadrantes onde:

$\theta = \frac{3\pi}{4} \; \; \; ou \; \; \; \theta = \frac{7\pi}{4}$

ou múltiplos deles.

Sabendo-se disto, precisaremos encontrar a derivada de y com relação à y:

$x^2 + y^2 + xy=2 \Rightarrow 2dx + 2dy + xdy + ydx = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (2 + y)dx + dy(2 + x) = 0 \Leftrightarrow (2 + y)dx = - dy(2 + x) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (2 + y)dx = - dy(2 + x) \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{2 + y}{2 + x}, \;\;\; x \neq -2$

De [1], temos que:

$\frac{dy}{dx} = - \frac{2 + y}{2 + x} = -1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 + y}{2 + x} -1 = 0 \Leftrightarrow \frac{2 + y - 2 - x}{2 + x} = 0 \Leftrightarrow \frac{y - x}{2 + x} = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow {x \in \Re \;\; e \;\; y \in \Re | y = x \;\; e \;\; x \neq -2}$

$\blacksquare$

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Re: Cálculo 1- Derivação

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