primitivas de uma funçao

por **bebelo32** » Seg Mar 09, 2015 22:49

1) Determine a unica função y = y(x),x $\in R$ , que satisfaça as condições dadas

a) $\frac{dy}{dx}$ = 2y e y(0) = 1

por **Russman** » Ter Mar 10, 2015 11:23

Esta equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem separável. Você pode separar em ambos lados da igualdade objetos que somente dizem respeito a y e a t.

Veja:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2y\Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{y} = 2 \ \mathrm{d} x$

Agora, de acordo com o Teormea Fundamental do Cálculo, integra em ambos lados.

$\frac{\mathrm{d} y}{y} = 2 \ \mathrm{d} x \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d} y}{y} = \int 2x \ \mathrm{d} x$

Portanto,

$\int \frac{\mathrm{d} y}{y} = \int 2 \ \mathrm{d} x \Rightarrow \ln (y) = 2x+c$

onde $c \in \mathbb{R}$ .

Operando com a função inversa, temos, finalmente,

$y(x) = C e^{2x}$ , C= e^c

Já que

, então

e, assim, a solução é $y(x) = e^{2x}$ .

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