limites

[daiana]

boa tarde realizei esse calculo mas tenho algumas duvidas.
lim (x² - a²)/(x - a) para x - a
Seja “a = 5” o seu simétrico será “a = -5”
lim (x²- 5²)/(x – 5) para x - 5
lim (x²- 25)/(x – 5) para x - 5
(5² - 25)/(5-5) = 0/0.
lim (x²- 25)/(x – 5) para x - 5 = lim [(x – 5)(x+5)/(x – 5)] para x - 5
lim (x+5) para x - 5 = 5 + 5 = 10.


lim (x²-(- 5)²)/(x –(- 5)) para x -5
lim (x²- 25)/(x +5) para x -5
lim ((-5)² - 25)/(-5+5) = 0/0
lim (x²- 25)/(x +5) para x - 5 = lim [(x – 5)(x+5)/(x + 5)] para x -5
lim (x-5) para x - 5 =-5 - 5 =- 10.

Observe que a função matemática (x² - a²)/(x - a) é igual a (x + a), após a fatoração que fiz
Portanto, o gráfico da função (x² - a²)/(x - a) é o gráfico da função x + a, para x diferente de a, pois a função (x² - a²)/(x - a) não está definida em a. Doutra forma, o gráfico é uma reta com um buraco no ponto x=a, cujo limite lim (x² - a²)/(x - a) para x ---- a existe, conforme calculei.
A questão que levanto para pesquisa é a seguinte:
A continuidade de uma função num ponto implica na existência do limite desta função no mesmo ponto?
A recíproca desta questão é falsa, pois como relatei acima, o limite de (x² - a²)/(x - a) existe para x--- a, mas a função matemática não é contínua em x = a (possui um buraco neste ponto).
aguardo ajuda .

[Russman]

A continuidade de uma função num ponto implica na existência do limite desta função no mesmo ponto?

Dizemos que o limite existe se os limites bilaterais existem e são o mesmo número. De fato, o limite de uma função diz respeito não a seus pontos mas, sim, a vizinhanças desses pontos. Dessa forma, nada impede que o limite seja um ponto descontínuo da função.