[Derivada de função de duas variáveis] Dúvida numa passagem

por **Fabio Wanderley** » Sáb Dez 06, 2014 14:51

Boa tarde!

Alguém poderia mostrar como se chegou a essa igualdade? Não a entendi. É uma passagem de um exercício de funções de duas variáveis aleatórias.

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{d}{dz}\int_{-\infty}^{z-x}f_{XY}(x,y)dy\right]dx=\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,z-x)dx$

Obrigado!

por **Fabio Wanderley** » Ter Dez 09, 2014 21:45

Consegui falar com um professor. Vou deixar aqui a explicação:

"A igualdade é verdadeira devido ao Teorema Fundamental do Cálculo. Quando se deriva uma integral e a variável de derivação é o limite superior da integral, o resultado é o integrando avaliado nesse ponto."

Depois revisei o conteúdo num livro de Cálculo I. Posto aqui em simbologia matemática a explicação do professor:

Teorema Fundamental do Cálculo:
Seja f contínua em [a,b] e $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ . Então F é derivável e F'(x) = f(x).

por **adauto martins** » Qua Dez 10, 2014 14:51

meu caro fabio,
o q. esta dificultando aqui e o limite inferior da prim. integral... $-\infty$ ,pois podemos fazer como se segue:
I= $d/dz(\int_{-\infty}^{z-x}(F(x,y)dy)=\int_{-\infty}^{z-x}(\partial F/\partial y) dy=$ ,regra de leibinitz...
$I=\int_{-\infty}^{z-x}\partial F(x,y)=F(x,y)[-\infty,z-x]=F(x,z-x)-F(x,-\infty)$ ,sem uma definiçao de F(x,y) nada podemos concluir com $F(x,-\infty)...$

por **Fabio Wanderley** » Qua Dez 10, 2014 20:31

Adauto, pelo que entendi, você está utilizando a seguinte explicação do teorema fundamental do cálculo:

Se G é tal que G'(x) = f(x) para $x\in\left[a, \right b]$ , então $\int_{a}^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)$

Observe que o integrando e o intervalo de integração são diferentes da definição que usei.

por **adauto martins** » Qua Dez 10, 2014 21:28

ai meu caro fabio,
claro tbem,nao tem como nao usar o teorema fundamental do calculo,mas ai usei a regra de leibnitz,mas cometi um erro ai,por displicencia(de sempre!)...
a regra de lebnitz p/funçoes de 2 variaveis eh:
$d/dy(\int_{a}^{b}(F(x,y)dx))=\int_{a}^{b}(\partial F(x,y)/\partial y)dx$ ,desde de q. F(x,y)seja continua e diferenciavel em (a,b)...qto ao exercicio e o erro...
$I=d/dz(\int_{-\infty}^{z-x}(F(x,y)dy)=\int_{-\infty}^{z-x}(\partial F(x,y)/\partial z)dy$ ,meu erro foi
$(\partial F/\partial y)dy e nao (\partial F/\partial z)dy$ ,mas persiste o problema do limite p/ $-\infty...$
vamos a exposiçao...z=u(x,y) continua e diferencial em (a,b)...logo
$I=\int_{u(-\infty)}^{u(z-x)}(\partial F(x,y)/\partial z)dy$ $I=\int_{u(-\infty)}^{z-x}(\partial F)(dy/\partial u)$ , $u=u(x,y),{u}^{-1}(u(x,y))=(x,y)\Rightarrow \partial y=\partial {u}^{-1}=1/\partial u$ $I=\int_{u(-\infty}^{z-x}(\partial F).(\partial y/\partial u)=\int_{-\infty}^{z-x}(\partial F(x,y))=$ $I=\int_{u(-\infty}^{z-x}(\partial F).(\partial y/\partial u)=\int_{-\infty}^{z-x}(\partial F(x,y))=F(x,y)[-\infty,z-x]=F(x,z-x)-F(x,-\infty)$ ,q.recai na situaçao anterior...para q. $F(x,-\infty)=0$ ,F tem q. ser uma funçao tipo $\lim_{(x,y),y\rightarrow-\infty}F(x,y)=0$