Limite trigonométrico -

por **wvyeyra** » Ter Jul 22, 2014 21:31

Olá! Poderiam me ajudar a calcular esse limite trigonométrico?
$\lim_{x\rightarrow0}{(1+sin(7x))^{(cot(5x))}}$ .

A minha lógica é:
* Quando x vai pra zero sin(7x) vai pra zero tbm. Então (1 + sin(7x)) = 1
* E cot(5x) = cos(5x)/sin(5x). Temos que qnd x se aproxima de zero o denominador sin(5x) tende a zero e o numerador cos(5x) tende a 1. Aí temos que o inverso de algo muito pequeno é algo muito grande, ou seja, infinito.
* Daí eu cheguei em algo parecido com 1^(infinito)= infinito.

Observações: sou muito leigo ainda na matéria de cálculo. Então gostaria de uma explicação simples, se possível. E outra, coloquei no site wolframalpha e ele deu o resultado ( e^(7/5)).

Desde já agradeço!

por **e8group** » Ter Jul 22, 2014 22:40

1^(infinto) é indeterminado .

Minha sugestão ,defina $L(x) = (1+sin(7x))^{cot(5x)} = \left [(1+sin(7x))^{\frac{1}{sin(5x)} \right]^{cos(5x)}$ .

Aplicando o logaritmo natural em ambos membros temos

$ln(L(x)) = cos(5x)\frac{1}{sin(5x)} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{sin(7x)}{sin(7x)} } =$

$= cos(5x) \cdot \frac{1}{sin(5x)} \cdot sin(7x) \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{sin(7x)}{sin(7x)} =$

$= \frac{7}{5} \cdot cos(5x) \cdot \frac{1}{\dfrac{sin(5x)}{5x} } \cdot \frac{sin(7x)}{7x} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{1}{sin(7x)}}$ .

Agora está mais fácil ... passando ao limite com x tendendo à zero , temos no segundo membro que ( verifique !)

$\frac{7}{5} \lim_{x \to 0 }cos(5x) \cdot \frac{1}{\dfrac{sin(5x)}{5x} } \cdot \frac{sin(7x)}{7x} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{1}{sin(7x)}} = \frac{7}{5}$ .Note também que (devido a continuidade ) $\lim_{x\to 0} ln(L(x)) = ln(\lim_{x\to 0} L(x))$ .Desta forma ,temos $ln(\lim_{x\to 0} L(x)) = \frac{7}{5}$ e portanto $\lim_{x\to 0} L(x) = exp(\frac{7}{5})$

por **wvyeyra** » Qui Jul 24, 2014 00:07

Muito obrigado!!!
Ficou bem explicado. :y:

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