Derivada crescente

por **Janoca** » Seg Jul 14, 2014 18:45

Se uma função tem derivada crescente, então:
a) ela é inversível;
b) sua derivada é positiva;
c) a função é crescente;
d) a função tem ponto de máximo;
e) todas alternativas são falsas.

Gostaria de entender o pq de cada alternativa incorreta e a o motivo da correta.

desde agradeço!

por **e8group** » Ter Jul 15, 2014 13:38

Defina $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que a cada $x \in \mathbb{R}$ associar um $f(x) =x^2 \in \mathbb{R}$ . Note que f'(x) = 2x

e facilmente verifica-se que

é crescente (neste caso estritamente crescente ) .Agora ...

(I) A função f não é inversível (pois não é injetora , muito menos sobrejetora ) o que implica (a) falso .
(ii) A derivada de f não preservar o sinal ,portanto não positiva o que implica (b) falso.
(iii) Qualquer um dos itens acima implicam que f não é crescente o que implica (c) falso .
(iv) A função não atinge valor máximo . Note que dado qualquer M > 0 o quão grande vc queira temos sempre um f(x) > M ; para tal basta que x seja superior que $\sqrt{M}$ .

Derivada crescente

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