Derivada em pontos definidos.

por **Carolminera** » Qua Jul 02, 2014 16:03

O deslocamento ( em metros ) de uma partícula movendo-se ao longo
de uma reta é dado pela equação s(t) = t^2? 8t + 18, onde t é medido em segundos.
Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo [3,4], [3.5, 4], [4,
5] [4, 4.5]. Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. Faça o gráfico de s como
função do tempo e desenhe as retas secantes, cujas inclinações são as velocidades
médias pedidas e a reta tangente ao gráfico no ponto (4,2).

Alguém ajuda?

por **Russman** » Qua Jul 02, 2014 18:40

Lembre-se que a velocidade média v_m

desenvolvida pelo móvel no intervalo de tempo [t_1,t_2]

é definida como

$v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

onde $\Delta s = s(t_2) - s(t_1)$ é o deslocamento sofrido e $\Delta t = t_2 - t_1$ .

Assim, por exemplo, para calcular a velocidade média desenvolvida no intervalo [3,4]

basta substituir, já que é conhecida, os valores de tempo na função deslocamento. Veja,

$v_m = \frac{s(4) - s(3)}{4-3} = \frac{4^2 - 8.4 + 18 - (3^2 - 8.3 + 18)}{1} = 16+8.(-4+3)-9 =$
= 16 - 8-9 = -1

Não se engane com o sinal negativo. Ele e o sinal positivo apenas indicam o sentido do movimento. Se a posição cresce para a direita(como usualmente se faz) e a velocidade média desenvolvida no intervalo de tempo de interesse tem sinal negativo, então o móvel se desloca no sentido de decrescimento da posição nesse intervalo de tempo. Ou seja, para a esquerda.

A velocidade instantânea v(t)

é calculada para um instante de tempo específico através do limite

$v(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}$

que , na prática, é a derivada com relação a

da função posição. Isto é,

$v(t)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}s(t)$ .

Portanto, v(t) = 2t - 8

e basta substituir

pelo instante que se deseja calcular a velocidade instantânea.

No conhecimento desta, é útil saber(e simples de mostrar) que a velocidade média desenvolvida no intervalo [t_1,t_2]

se relaciona com a velocidade instantânea nos instantes t_1

e

por

$v_m = \frac{v(t_1) +v(t_2)}{2}$ .

Ou seja, a velocidade média desenvolvida no intervalo de tempo de interesse é a média aritmética simples das velocidades instantâneas desenvolvidas nos extremos desse intervalo.

por **Carolminera** » Qui Jul 03, 2014 11:49

Muuuito obrigada!

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