Sistemas de Equações diferenciais com Autovalores Complexos

por **barbara-rabello** » Ter Jun 03, 2014 21:32

Bom, estou estudando sistemas de equações diferenciais e acabei de ver a parte com autovalores complexos, onde usamos Euler para resolver.
Esta parte consegui entender. A questão é, aprendi para casos com autovalores imaginários puros, mas como faço quando, ao estudar algum sistema,
encontrar autovalores da forma a + bi? Não consegui achar nenhum exemplo para me ajudar nessa dúvida, tentei pensar sozinha, mas na hora de usar
Euler estou me enrolando e não consigo fazer. Alguém tem algum exemplo de como faço nesses casos?
Obrigada!

por **Russman** » Qui Jun 05, 2014 16:40

$e^{a+bi} = e^a . e^{ib} = e^a (\cos(b) + i \sin(b))$

Em geral, é assim que interpreta-se a exponencial complexa.

por **barbara-rabello** » Sex Jun 06, 2014 19:14

Muito obrigada, ajudou bastante!!!!!

Tenho uma outra dúvida: Se tenho um sistema de três equações, por exemplo, então encontro três autovalores e autovetores, respectivamente.
Por exemplo, encontro um autovalor f + gi, e seu respectivo autovetor é $\begin{pmatrix} ai \\ b+di \\ c+ei \\ \end{pmatrix}$
Assim, na hora que calculo Euler ficaria assim:?
$\begin{pmatrix} 0\\ b\\ c\\ \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} a \\ d\\ e\\ \end{pmatrix}.{e}^{f}\left[cos(gt)+ isen(gt) \right]$

Aplicando algumas propriedades algébricas, teríamos:

$\left[ \begin{pmatrix} 0\\ b\\ c\\ \end{pmatrix}.{e}^{f}.cos(gt)- \begin{pmatrix} a \\ d\\ e\\ \end{pmatrix}.{e}^{f}.sen(gt)\right]{c}_{1} + \left[\begin{pmatrix} a \\ d\\ e\\ \end{pmatrix}.{e}^{f}.cos(gt) + \begin{pmatrix} 0\\ b\\ c\\ \end{pmatrix}.{e}^{f}.sen(gt)\right]{c}_{2}$

Eu tenho que calcular isso para os três autovalores e autovetores e depois somar tudo, ou posso simplesmente calcular somente para um autovalor e, seu respectivo autovetor, para encontrar uma solução geral?

Sistemas de Equações diferenciais com Autovalores Complexos

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