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[limites]Calcular limite

[limites]Calcular limite

Mensagempor fff » Qua Abr 09, 2014 12:29

\lim_{+\propto}\frac{{e}^{2x}-{e}^{x}}{ln(x+1)}
R:+\propto (só posso utilizar limites notáveis)
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fff
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Re: [limites]Calcular limite

Mensagempor e8group » Sex Abr 11, 2014 01:14

O limite é + infty .

Pq ?

Uma alternativa ...

Proposição :

Se f(x) \geq g(x) para todo a < x < +\infty e lim(g(x)) = +\infty então lim(f(x)) = +\infty .(a podendo ser número real ou - \infty )

Agora note que

e^x -1  > x para todo x > 0 . Então

e^{x} (e^{x} -1) = e^{2x} -e^{x} > e^{x} x \implies \frac{e^{2x} -e^{x} }{ln(x+1)} > \frac{e^{x} x  }{ln(x+1)}  > \frac{(x+1) x}{ln(x+1) }  =  x \cdot \frac{x+1}{ln(x+1) } > x    ,  x >  0 .

Ou seja , \frac{e^{2x} -e^{x} }{ln(x+1)} > x para todo +\infty > x > 0 .

Daí quando passamos ao limite com x \to +\infty , obteremos o resultado .


P.S.: Plote os gráficos para x > 0 e faça uma comparação .
e8group
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.