Limite com x tendendo ao infinito

por **PeterHiggs** » Ter Mar 04, 2014 16:53

Fiquei muito intrigado com o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{3x^5+2x-8}{\sqrt[2]{x^6+x+1}}$

resp.: $-\infty$

Ao tentar resolvê-lo, multipliquei o numerador e o denominador por (1/(x^3)). No denominador obtive, dentro da raíz, 1+1/x^5 + 1/x^6(e com x tendendo a menos infinito, sobrou 1). No numerador, 3x^2 + 2/(x^2) - 8/(x^3), e com x tendendo à menos infinito, sobra 3*(-inf)^2, o que eu imaginei, daria +infinito. Mas a resposta é - infinito !. Alguém sabe como chegar nisso ?

por **Man Utd** » Ter Mar 04, 2014 21:37

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x^5+2x-8}{\sqrt[2]{x^6+x+1}}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^5(3+\frac{2}{x^4}-\frac{8}{x^5})}{\sqrt{x^6(1+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6})}}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^5(3+\frac{2}{x^4}-\frac{8}{x^5})}{|x^3|*\sqrt{1+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6}}}$

perceba que $\sqrt{ x^6} \neq x^3$ e sim $\sqrt{ x^6} = |x^3|$ .e veja tbm que : $|x|= \begin{cases} x \;\; , \;\; \text{se} \;\; x \geq 0 \\ -x \;\; , \;\; \text{se} \;\; x<0 \end{cases}$ , como o limite tende a valores muito grandes e negativos ficamos com:

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^5(3+\frac{2}{x^4}-\frac{8}{x^5})}{-x^3*\sqrt{1+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6}}}$

$-\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^5(3+\frac{2}{x^4}-\frac{8}{x^5})}{x^3*\sqrt{1+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6}}}$

$-\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^2(3+\frac{2}{x^4}-\frac{8}{x^5})}{\sqrt{1+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6}}}=-\infty$

por **PeterHiggs** » Ter Mar 04, 2014 23:08

Cara, muito bom, muitíssimo obrigado ! :y:

Eu estava muito preso numa técnica que eu tinha lido no stewart, que ele falava que era pra dividir no numerador e denominador pela potência maior do x no denominador, daí eu acabei me equivocando. Valeu tb pela questão do módulo, isso eu já tava ligado, mas acabei me distraindo ali, sabia q tinha alguma coisa errada ligado a isso !

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