[Limites] Exercício com limites notáveis

por **fff** » Sáb Fev 08, 2014 21:41

Boa noite. Tenho dúvidas em calcular este limite.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{ln(e^{-x}-1)}{x}$
Resposta: -1

por **e8group** » Sáb Fev 08, 2014 23:36

Boa noite . Sugiro que faça a substituição $e^{-x} = u$ . Agora tente concluir .

por **fff** » Dom Fev 09, 2014 08:57

Substituí ${e}^{-x}$ por y:
$\lim_{y\rightarrow +\propto}\frac{ln(y-1)}{-ln(y)}$
Depois (não tenho a certeza se posso fazer assim):
$\lim_{y\rightarrow +\propto}ln \frac{(y-1)}{(-y)}=\lim_{y\rightarrow +\propto}ln(-1)$
E agora?

por **e8group** » Dom Fev 09, 2014 15:29

Bom tarde. Note que se $e^{-x} = y$ , então x = - ln(y)

e além disso ,

$ln(e^{-x} -1) = ln(y-1) = ln \left(y \left[1 - \dfrac{1}{y}\right]\right) = ln(y) + ln(1 - \dfrac{1}{y})$ (pois como definimos

, ele sempre será > 0 ) .

Agora tente calcular o limite abaixo :

$\lim_{y \to + \infty} \frac{ln(y) + ln(1 - \dfrac{1}{y}) }{-ln(y)}$

Para tal ,segue algumas observações (só p/ simplificar a notação , lim(f(x))

significa $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ e ao invés de dizermos a função f contínua ou de classe C^0 , definida por f(x) , vamos dizer apenas f(x) é contínua )

(i) lim (1) = 1

e $lim(ln(y)) = +\infty$ implicam lim(1/ln(y)) = 0

(ii)

é contínua em 1 e 1 - 1/x

é descontínua apenas na origem . Logo ,a segunda função é contínua em valores arbitrariamente grandes e $1 = lim\left(1 - \frac{1}{y}\right)$ .Portanto $lim\left(ln\left[1 - \frac{1}{y}\right]\right) = ln\left(lim\left[1 - \frac{1}{y}\right] \right)= ln(1) = 0$ .