Calcular o Limite

por **Gabs** » Sáb Out 05, 2013 15:35

Olá, estou tentando fazer esta questão há algumas horas, mas sempre chego no resultado errado. Tenho que calcular o limite:
$\lim_{x->0}\frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{1+\sqrt[3]{3x-1}}$

por **Bravim** » Sáb Out 05, 2013 22:01

Bem, para se fazer esse limite você terá de racionalizar o denominador e usar L'Hopital.
Racionalizando a expressão, ficaremos com:
$f(x)=\frac{1}{3x}*(1-{(1-x)}^{\frac{1}{3}}-{(-1+3 x)}^{\frac{1}{3}}+{(1-x)}^{(\frac{1}{3})}*{(-1+3 x)}^{(\frac{1}{3})}+{(-1+3 x)}^{\frac{2}{3}}-{(1-x)}^{(\frac{1}{3})}*{(-1+3 x)}^{\frac{2}{3}})$
Agora,aplicando L'Hopital,
$g(x)=\frac{1}{3}*(\frac{1-{(-1+3 x)}^{\frac{1}{3}}+{(-1+3 x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1-x)}^{\frac{2}{3}}}+(1-{(1-x)}^{\frac{1}{3}})* [-{(-1+3 x)}^{-2/3}+\frac{2}{{(-1+3 x)}^{\frac{1}{3}}}])$
Como o termo é contínuo em zero e a função tende a zero quando o limite de x tende a zero
$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)\Rightarrow\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
Como a fórmula fica difícil de escrever mesmo em LaTeX devido ao tamanho dela, recomendo a visualização por aqui
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281-%281-x%29%5E%281%2F3%29%29+%281-%28-1%2B3+x%29%5E%281%2F3%29%2B%28-1%2B3+x%29%5E%282%2F3%29%29%29%2F%283+x%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-(daqui também é fácil de verificar que realmente é zero pelo gráfico)
e por aqui
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate%28%281-%281-x%29%5E%281%2F3%29%29+%281-%28-1%2B3+x%29%5E%281%2F3%29%2B%28-1%2B3+x%29%5E%282%2F3%29%29%29%2F3+
Favor conferir. Como a expressão é muito grande eu posso ter errado alguma coisa

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