[Perpendicularidade - Curva - Esfera]

por **raimundoocjr** » Seg Set 23, 2013 18:16

(Livro: Cálculo - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 26 - Pág.: 742) Se uma curva $\alpha :A\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ tem a propriedade de o vetor posição $\alpha(t)$ estar sempre perpendicular ao vetor tangente $\alpha '(t)$ , mostre que essa curva está contida em uma esfera de centro na origem.

Como faço isso?

por **young_jedi** » Qua Set 25, 2013 23:48

sendo $\alpha(t)=(x(t),y(t),z(x))$

então

$\frac{d\alpha(t)}{dt}=(\frac{x(t)}{dt},\frac{y(t)}{dt},\frac{z(t)}{dt})$

como eles são perpendiculares então seu produto escalar é igual a zero

$(x(t),y(t),z(x)).(\frac{dx(t)}{dt},\frac{dy(t)}{dt},\frac{dz(t)}{dt})=0$

$x(t)\frac{dx(t)}{dt}+y(t)\frac{dy(t)}{dt}+z(x)\frac{dz(t)}{dt}=0$

$\frac{d(\frac{x^2(t)}{2}+\frac{y^2(t)}{2}+\frac{z^2(t)}{2})}{dt}=0$

integrando com relação a t

$\frac{x^2(t)}{2}+\frac{y^2(t)}{2}+\frac{z^2(t)}{2}=c$

x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)=2c