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Mensagempor tatianaCAL » Sáb Jun 22, 2013 09:49

Como calcular \lim_{x \to 0}\frac{cos(3x)}{(x^{2} + 1)senx}?
tatianaCAL
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Re: [LIMITE]

Mensagempor e8group » Sáb Jun 22, 2013 11:15

Como o limite de cos(3x) é 1 quando x\to 0 , o tal limite a ser calculado não apresenta forma indeterminada 0/0 , \infty/\infty , \hdots , etc .Por outro lado, sin(x) \to 0 quando x\to 0 .Assim , é natural que (*) \lim_{x\to 0} cos(3x)/[(x^2+1)sinx] = \begin{cases} + \infty ; x\to 0^+ \\ -\infty ; x\to 0^- \end{cases} . Observe que para x suficiente pequeno ,podemos aproximarsin(x) por x . Assim , por exemplo sin(0,000000000000000000000000056) \approx 0,000000000000000000000000056 , sin( 1/e^{500!}) \approx 1/e^{500!} , sin( - \pi^{-988!} ) \approx - \pi^{-998!} = -1/\pi^{998!} o que justifica (*) .
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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