Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

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Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

Mensagempor arthurvct » Qui Jun 13, 2013 15:21

Boa tarde/noite/dia galera, por favor me ajudem com essa questão:
Determine a área do triângulo formado pelo eixo-x e pelas retas tangentes ao círculo x^2+y^2=2 nos pontos de interseção do círculo com a parábola de equação y=x^2.
arthurvct
 
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Re: Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

Mensagempor e8group » Sex Jun 14, 2013 00:49

Dica : Faça um esboço da circunferência e da parábola.Observe que tais pontos de interseção possui ordenada positiva ,assim a função que vamos derivar é f(x) = \sqrt{2 -x^2} , |x| \leq \sqrt{2} .Podemos derivar implicitamente também x^2 + y^2 = 2 com respeito a x, mas lembre-se que y > 0 .Agora para determinar a interseção , basta substituir y por x^2 na equação da circunferência,com isso você determina tais pontos. Supondo que (a,f(a)) é um dos pontos ,temos que : y - f(a) = f'(a)(x-a) \implies r: y = f'(a) x -af'(a) +f(a) .Observando os dois pontos de interseção diferem apenas pela abscissa ,elas são simétricas.Então ,as duas retas diferem apenas pelo coeficiente angular que são iguais em módulo (Verifique !) . Assim , as áreas dos dois retângulos são iguais , e portanto A = 2 \cdot \frac{d(O,O_x\cap r) \cdot d(O,O_y\cap r) }{2} é a área que estamos procurando .Agora tente concluir
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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