Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

por **arthurvct** » Qui Jun 13, 2013 15:21

Boa tarde/noite/dia galera, por favor me ajudem com essa questão:
Determine a área do triângulo formado pelo eixo-x e pelas retas tangentes ao círculo x^2+y^2=2

nos pontos de interseção do círculo com a parábola de equação y=x^2

.

por **e8group** » Sex Jun 14, 2013 00:49

Dica : Faça um esboço da circunferência e da parábola.Observe que tais pontos de interseção possui ordenada positiva ,assim a função que vamos derivar é $f(x) = \sqrt{2 -x^2} , |x| \leq \sqrt{2}$ .Podemos derivar implicitamente também x^2 + y^2 = 2

com respeito a x, mas lembre-se que y > 0

.Agora para determinar a interseção , basta substituir

por

na equação da circunferência,com isso você determina tais pontos. Supondo que (a,f(a))

é um dos pontos ,temos que : $y - f(a) = f'(a)(x-a) \implies r: y = f'(a) x -af'(a) +f(a)$ .Observando os dois pontos de interseção diferem apenas pela abscissa ,elas são simétricas.Então ,as duas retas diferem apenas pelo coeficiente angular que são iguais em módulo (Verifique !) . Assim , as áreas dos dois retângulos são iguais , e portanto $A = 2 \cdot \frac{d(O,O_x\cap r) \cdot d(O,O_y\cap r) }{2}$ é a área que estamos procurando .Agora tente concluir