[Limite]de sen(x)/x = 1 só se x diferente de ...

por **marcosmuscul** » Qui Mar 28, 2013 20:34

$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{sen(x)}{x} = 1$ $\forall x \in \Re$ exceto { $0,+\infty,-\infty$ } ?

fiquei com essa dúvida após resolver um limite e não obter o resultado correto.

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1 + xsen(x)}{x}}$

como resolvi:

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1 + xsen(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{1}{x} + \frac{xsen(x)}{x}}{\frac{x}{x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{1}{x} + x \right) = -\infty$

porém, o gabarito diz que o limite não existe pois o resultado oscila entre -1 e +1

por **marcosmuscul** » Qui Mar 28, 2013 20:36

marcosmuscul escreveu: $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{sen(x)}{x} = 1$ $\forall x \in \Re$ exceto { $0,+\infty,-\infty$ } ?

fiquei com essa dúvida após resolver um limite e não obter o resultado correto.

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1 + xsen(x)}{x}}$

como resolvi:

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1 + xsen(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{1}{x} + \frac{xsen(x)}{x}}{\frac{x}{x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{1}{x} + x \right) = -\infty$

porém, o gabarito diz que o limite não existe pois o resultado oscila entre -1 e +1

os nobres amigos poderiam me ajudar? agradeço desde já. *desculpa por ter citado minha mensagem moderador, foi sem querer :-D

. eu queria somente editar.

por **e8group** » Qui Mar 28, 2013 21:24

Primeiro :
O limite fundamental trigonométrico é este $\lim_{x \to 0} sin(x)/x = 1$ cuja a prova é baseada no teorema do confronto ,prova esta disponíveis em livros e videos aulas na internet .Vale muito apena compreender este resultado .Se você esboçar o gráfico da função

dada por

, observará que para x em uma vinhança do zero a função f se aproxima de 1.

Segundo :

$\lim_{x \to \infty } \frac{1 + x sin(x) }{x}$ de fato não existe ;pois ,

$\lim_{x \to \infty } \frac{1 + x sin(x) }{x} = \lim_{x \to \infty } {1}{x} + \lim_{x \to \infty } sin(x)$ .

A primeira parcela tende a zero já em relação a segunda o que seria $\lim_{x \to \infty } sin(x)$ ? Imagine "infinitas voltas no circulo unitário " a função seno oscilando de -1 a 1 ...