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por **giboia90** » Ter Mar 19, 2013 18:40

queria duas forma de calcula
a integral de ; $\int_{}^{}\sqrt[]{49+{x}^{2}} dx$

por **marcosmuscul** » Ter Mar 19, 2013 22:13

Será que é isso?
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por **nakagumahissao** » Qua Mar 20, 2013 10:00

giboia90,

uma das soluções seria:

$\int {\sqrt {49 + x^{2}} dx$

Tomando:

$x = 7 \tan {u} \Rightarrow dx = 7 \sec^{2}{u} \;du$

Tem-se que:

$\int {\sqrt {49 + x^{2}} dx = \int {(7 \sec^{2}{u}) \sqrt {49 + \left(7 \tan{u} \right)^{2}} du =$

$= 7 \int {(\sqrt {49 + 49 \tan^{2}{u}}) \cdot \sec^{2}{u}} du =$

$= 49 \int {(\sqrt {1 + \tan^{2}{u}}) \cdot \sec^{2}{u}} du =$

$= 49 \int {(\sqrt {\sec^{2}{u}}) \cdot \sec^{2}{u}} du =$

$= 49 \int {\sec^{3}{u}} du =$

$= \frac{49}{2} \left(\sec{u} \tan {u} + ln{\left| \sec u + \tan {u} \right| \right) + C$

$= \frac{49}{2} \left(\frac{\sqrt{49 + x^{2}}}{7} \frac{x}{7} + ln{\left| \frac{\sqrt{49 + x^{2}}}{7} + \frac{x}{7} \right| \right) + C$

$= \frac{49}{2} \left(\frac{x\sqrt{49 + x^{2}}}{49} + ln{\left| \frac{\sqrt{49 + x^{2}}}{7} + \frac{x}{7} \right| \right) + C$

Vou parar por aqui, mas creio que dá para trabalhar um pouco mais no resultado.

por **giboia90** » Qua Mar 20, 2013 10:07

valeu nakagumahissao

por **marcosmuscul** » Qua Mar 20, 2013 14:27

ainda não comecei a faculdade, mas já estou estudando sozinho. Estou aqui no fórum pra aprender.
alguém poderia me explicar porque que da forma que eu fiz está errado. qual foi a regra que eu infringi?
obrigado.

por **nakagumahissao** » Qua Mar 20, 2013 15:29

marcosmuscul,

Ao mudar para $u = 49 + x^{2}$ , você fez corretamente a derivação para:

du = 2xdx

, porém, ao substituir na Integral original, você transportou para debaixo da raiz o u, mas não passou o x reescrita em forma de 'u'. Ou seja, no caso em questão, como:

$u = 49 + x^{2}$

então, $x = \pm\sqrt {u - 49}$

Desta maneira, se substituíssemos todos os x em forma de 'u', teríamos uma função muito mais difícil de ser integrada. Creio que o engano começou neste ponto.

Outras Observações: Não é permitido tirar 1/(2x) para fora da Integral pois x não é uma constante, independentemente do fato de não ter sido reescrito na forma em 'u', ou seja, utilizando em uma nova forma, cuja variável independente seja u ao invés de x.

Se eu estiver errado pessoal, por favor, me corrijam.

Acredito que esses são os pontos principais.

por **marcosmuscul** » Qua Mar 20, 2013 23:57

valeu pelo toque nakagumahissao.

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