L'Hospital

por **matmatco** » Sáb Fev 23, 2013 16:35

$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x}+lnx \right]$ , não estou conseguindo resolver esse limite por l'hospital a resposta é infinito mas só encontro zero.
alguém me ajude por favor

por **LuizAquino** » Ter Fev 26, 2013 17:09

matmatco escreveu: $\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x}+lnx \right]$ , não estou conseguindo resolver esse limite por l'hospital a resposta é infinito mas só encontro zero.
alguém me ajude por favor

Em primeiro lugar, vale destacar que este limite está mal definido. Isso porque para $x\to 0^-$ (e portanto x < 0), temos que $\ln x$ não está definido. O que podemos calcular na verdade é:

$\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} + \ln x$

Feita esta observação, vejamos como começar o desenvolvimento desse limite.

Analisando este limite, note que temos uma indeterminação do tipo $\infty- \infty$ . Para aplicar a Regra de L'Hospital, precisamos reescrever esse limite na forma $\infty/\infty$ (ou ainda, 0/0).

Uma estratégia clássica nesse caso é fazer o seguinte:

$\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} + \ln x = \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\left(\dfrac{1}{x} + \ln x \right)\left(\dfrac{1}{x} - \ln x \right)}{\dfrac{1}{x} - \ln x}$

$= \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{x^2} - \left(\ln x \right)^2}{\dfrac{1}{x} - \ln x}$

$= \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x} - \ln x} - \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\left(\ln x \right)^2}{\dfrac{1}{x} - \ln x}$

Note que agora cada um desses limites é do tipo $\infty/\infty$ . Desse modo, podemos aplicar a Regra de L'Hospital em cada um deles.

Tente concluir o exercício a partir daí.

Observação

Cuidado para não confundir $(\ln x)^2$ com $\ln x^2$ .

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