integral dupla

por **ricardosanto** » Seg Dez 10, 2012 23:19

calcule a integral $\int_{}^{}\int_{}^{} F(x,y)dydx$ conhecendo a função abaixo e os domínios de variação.
F(x,y)=xy+3y
$0\leq x \leq1 x\leq y \leq2x$

desejo ver o desenvolvimento dessa integral, pois não estou conseguindo ter um bom entendimento da mesma.
Obrigado

por **young_jedi** » Ter Dez 11, 2012 11:28

substituindo

$\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x}(xy+3y)dydx$

primeiro realizando a integração em y

$\int_{0}^{1}\left(x\frac{y^2}{2}+3\frac{y^2}{2}\right)\Big|_{x}^{2x}dx$

aplicando os limites de integração

$\int_{0}^{1}\left(x\frac{(2x)^2}{2}+3\frac{(2x)^2}{2}\right)-\left(x\frac{x^2}{2}+3\frac{x^2}{2}\right)dx$

$\int_{0}^{1}\left(\frac{3x^3}{2}+\frac{9x^2}{2}\right)dx$

$\left(\frac{3x^4}{8}+\frac{3x^3}{2}\right)\Big|^{1}_{0}$

aplicando os limites

$\frac{3}{8}+\frac{3}{2}\right)=\frac{15}{8}$

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