[Inverter ordem de integracao]

por **loki431** » Sáb Nov 03, 2012 13:11

Ola, estou tentando fazer um exercicio de inverter ordem de integração, porém nao estou conseguindo chegar a um resultado correto, consegui fazer o desenho , que seria a metade de uma circunferencia de raio 2 ( a circunferencia é cortada pela reta x=y ), mas na hora de trocar os limites da integracao para deixar dxdy nao estou conseguindo :(
agradeço quem puder ajudar.

$\int_{}^{}\int_{}^{}dydx$

integral sobre a regiao B ,
onde B ={ ${(x,y)\epsilon{R}^{2} | {x}^{2} + {y}^{2}\leq 4 , x\leq y }$ }

por **young_jedi** » Sáb Nov 03, 2012 17:32

temos que para isso voce tera que dividir a integral dupla em duas integrais duplas, na primeira y vai de 0 ate $\sqrt2$ e x varia de 0 até y, já na segunda parte a integral em y vai de $\sqrt2$ até 2 e x vai de 0 até $\sqrt{4-y^2}$

então

$\int_{0}^{\sqrt2}\int_{0}^{y}dxdy+\int_{\sqrt2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dxdy$

: integral.png (1.6 KiB) Exibido 6808 vezes

a parte em cinza corresponde a primeira area de integração, a parte verde compreende a segunda região de integração

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 03, 2012 17:51

Não deveria ser contado o trecho $-2 \leq x \leq 0$ também? Tenho a impressão que sim.

por **young_jedi** » Sáb Nov 03, 2012 18:06

é verdade, bem observado, então a integral ficaria na seguinte região

: integral.png (4.17 KiB) Exibido 6800 vezes

sendo assim dividio em duas integrais uma para cada região

$\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{y}dxdy+\int_{\sqrt2}^{2}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}dxdy$

por **loki431** » Sáb Nov 03, 2012 20:07

muito obrigado pela ajuda ^^
entao , é o seguinte, a região verde eu tinha conseguido, no entanto, a outra regiao (cinza) eu havia feito $\int_{-\sqrt[]{2}}^{\sqrt[]{2}}\int_{-\sqrt[]{2}}^{y}$ , qual seria a diferenca ?

por **young_jedi** » Sáb Nov 03, 2012 20:36

A diferença é que dessa forma sua area de integração ficaria

: integral.png (4.27 KiB) Exibido 6783 vezes

voce estaria excluindo uma parte do semicirulo (a que esta em branco)

por **loki431** » Sáb Nov 03, 2012 22:59

entendi , muito obrigado ^^

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