Limite

por **Claudin** » Qua Out 05, 2011 22:37

Não consigo resolver este exercício, não sei qual procedimento correto a ser feito.
Faço uma troca de variaveis com e elevado a 2x -1 e depois aplico logaritmo neperiano, mass não chego no resultado.
$\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\epsilon^{2x}-1}{x}$

por **LuizAquino** » Qui Out 06, 2011 10:53

No exemplo 4 da vídeo-aula "08. Cálculo I - Limites Exponenciais" você pode encontrar a solução para $\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^{2x}-1}$ . Aplicando as mesmas ideias exibidas nessa solução você resolverá o limite desejado.

por **Claudin** » Qui Out 06, 2011 12:55

Correto mas quando o limite for

$\lim_{x\rightarrow{0}}]\frac{\epsilon^{x^2}-1}{x}$

não consegui resolvê-lo.

por **LuizAquino** » Qui Out 06, 2011 18:01

A ideia ainda continua a mesma.

Você tem o limite:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x}$

Faça a substituição $u = e^{x^2} - 1$ . Quando x tende para zero, temos que u também tende para zero.

Além disso, podemos escrever que $\ln (u + 1) = x^2$ . Nesse ponto, há um detalhe importante. Quando u se aproxima de zero pela esquerda, sabemos que $\ln(u + 1) < 0$ . Por isso, simplesmente escrever $\sqrt{\ln (u + 1)} = x$ é um erro.

Para fugir disso, note que podemos calcular o limite original através de seus laterais. Sabemos que se os limites laterais são iguais, então o limite original existe e o seu valor coincide com o dos laterais.

Calculando o limite pela direita, temos que:
$\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = \lim_{u\to 0^+} \frac{u}{\sqrt{\ln(u+1)}}$

$= \lim_{u\to 0^+} \frac{u\sqrt{\ln(u+1)}}{\ln(u+1)}$

$= \lim_{u\to 0^+} \frac{\sqrt{\ln(u+1)}}{\frac{1}{u}\ln(u+1)}$

$= \lim_{u\to 0^+} \frac{\sqrt{\ln(u+1)}}{\ln(u+1)^{\frac{1}{u}}}$

$= \frac{\sqrt{\ln(0+1)}}{\ln e} = \frac{0}{1} = 0$

Calculando o limite pela esquerda, temos que:
$\lim_{x\to 0^-} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{(-x)^2} - 1}{-x}$

$= \lim_{x\to 0^+} -\frac{e^{x^2} - 1}{x}$

$= - \lim_{u\to 0^+} \frac{u}{\sqrt{\ln(u+1)}} = 0$

Portanto, como $\lim_{x\to 0^-} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = 0$ , podemos afirmar que $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = 0$ .