[Derivada] Derivada Direcional.

por **GabrielG** » Dom Jul 15, 2012 21:20

Olá, preciso resolver uma lista com alguns exercícios, ja fiz quase todos mais fiquei enroscado em um deles que não consigo resolver de jeito nenhum. O exercício é este:

Seja f(x,y)=x*arctan{x/y}

. Calcule

onde u aponta na direção e sentido de maior decrescimento de

no ponto (1,1).

Desculpem por algum erro, é meu primeiro post por aqui. Valeu.

por **Russman** » Dom Jul 15, 2012 23:35

A derivada direcional de uma função f(x,y)

na direção e sentido de um vetor $\overrightarrow{u}$ unitário é dada por:

$D_{\overrightarrow{u}}f(x,y)=\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\cdot \overrightarrow{u}$ .

A direção e sentido de maior evolução da funão em dado ponto é a direção e sentido do proprio vetor $\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)$ .

Assim,

$D_{\overrightarrow{\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)}}f(x,y)=\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\cdot \frac{\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)}{\left \| \overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\right \|}=\left \| \overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\right \|$ .

por **GabrielG** » Dom Jul 15, 2012 23:57

Russman escreveu:A derivada direcional de uma função na direção e sentido de um vetor $\overrightarrow{u}$ unitário é dada por:

$D_{\overrightarrow{u}}f(x,y)=\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\cdot \overrightarrow{u}$ .

A direção e sentido de maior evolução da funão em dado ponto é a direção e sentido do proprio vetor $\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)$ .

Assim,

$D_{\overrightarrow{\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)}}f(x,y)=\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\cdot \frac{\overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)}{\left \| \overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\right \|}=\left \| \overrightarrow{\bigtriangledown }f(x,y)\right \|$ .

Sim sim, essa "formula" da derivada direcional eu ja conheço. Mais não sei como aplica-la neste caso. Tenho que fazer a norma do gradiente no ponto (1,1) ? To meio perdido ainda. *-)

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 00:04

Isto!

Eu já fiz toda simplificação. Só calcular a norma do gradiente de f no ponto pois, nesse caso, a derivada direcional e o mesmo se confundem.

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