Integral de linha - 2

por **DanielFerreira** » Dom Jun 03, 2012 16:14

danjr5 escreveu:Calcule $\int_{\lambda}^{}ydx + x^2dy$ onde $\lambda$ é uma curva, cuja imagem é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1) para (2, 2).

Fiz assim:
F(x, y) = (y, x^2)

$\frac{\partial F_1}{\partial y} = 1$

$\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2x$

Como o campo vetorial não é conservativo, não posso aplicar o Teorema $\oint_{\lambda}^{}F.dr = f(2,2) - f(1,1)$ .

Então, pelo Teorema de Green:
$\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{D}^{}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)dxdy$

$\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}(2x - 1)dxdy$

$\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\left[x^2 - x \right]_{1}^{2}dy$

$\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}2dy$

$\oint_{\lambda}^{}F.dr = \left[2y \right]_{1}^{2}$

$\oint_{\lambda}^{}F.dr = 2$

Mas, de acordo com o gabarito a resposta certa é $\frac{23}{6}$ .

Desde já agradeço.

Att,

Daniel.

por **Russman** » Dom Jun 03, 2012 18:48

Eu acredito que sua solução está correta.

por **DanielFerreira** » Dom Jun 03, 2012 19:14

Russman,
valeu pela atenção!
O Teorema de Green aplica-se quando o caminho é fechado, então não pode ser aplicado em $\lambda$ .

Numa conversa com o professor de Cálculo, ele deixou bem claro que deveríamos 'priorizar' os Teoremas(Green, Campo Gradiente) na resolução de Integrais de Linha. Enfim, entendi que a Definição deveria ser a última opção.

Pela Definição:
Parametrizando $\lambda$ :
$\sigma(t) = (t,t) ============> \sigma'(t) = (1,1)$

x = t ================> dx = dt

$\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt$

$\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt$

$\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}$

$\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}$

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