[Equação diferencial] Resposta não bate com o livro

por **Bruno G Carneiro** » Sex Mai 11, 2012 15:23

Estou usando o livro Equações Diferencias, Boyce e DiPrima, não sei a edição.

Capítulo 3.7 ( Variação dos Parâmetros) , exercício 7

Encontrar a solução geral da equação diferencial dada:

$y''+4y'+4y = t^{-2}e^{-2t}$

Soluções linearmente independentes da equação homogênea associada:

$y_1=e^{-2t} ; y_2=te^{-2t}$

$W = y_1*y_2' - y_1'*y_2 = e^{-4t}$

$y_1*g/W = t^{-2}$

$y_2*g/W = t^{-1}$

$Y(t) = e^{-2t}(1+ln|t|)$

Resposta do livro para Y(t): $-e^{-2t}*ln|t|$

por **LuizAquino** » Seg Mai 14, 2012 08:40

Bruno G Carneiro escreveu:Estou usando o livro Equações Diferencias, Boyce e DiPrima, não sei a edição.

Capítulo 3.7 ( Variação dos Parâmetros) , exercício 7

Encontrar a solução geral da equação diferencial dada:

$y''+4y'+4y = t^{-2}e^{-2t}$

Soluções linearmente independentes da equação homogênea associada:

$y_1=e^{-2t} ; y_2=te^{-2t}$

$W = y_1*y_2' - y_1'*y_2 = e^{-4t}$

$y_1*g/W = t^{-2}$

$y_2*g/W = t^{-1}$

$Y(t) = e^{-2t}(1+ln|t|)$

Resposta do livro para Y(t): $-e^{-2t}*ln|t|$

Você esqueceu de dizer que nesse exercício é dado que t > 0. Sendo assim, podemos dizer que |t| = t.

Note que:

$Y(t) = y_1(t) \int -\frac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,\,y_2)(t)}\,dt + y_2(t) \int \frac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,\,y_2)(t)}\,dt$

$= e^{-2t} \int -\frac{te^{-2t}\left(t^{-2}e^{-2t}\right)}{e^{-4t}}\,dt + te^{-2t}\int \frac{e^{-2t}\left(t^{-2}e^{-2t}\right)}{e^{-4t}}\,dt$

$= e^{-2t} \int -t^{-1}\,dt + te^{-2t}\int t^{-2} \,dt$

$= e^{-2t} \left(-\ln t\right) + te^{-2t}\left(-t^{-1}\right) + c$

$= -e^{-2t}\ln t - e^{-2t} + c$

A solução geral será:

$y(t) = k_1e^{-2t} + k_2te^{-2t} -e^{-2t}\ln t - e^{-2t}$

$y(t) = (k_1-1)e^{-2t} + k_2te^{-2t} - e^{-2t}\ln t$

Chamando k_1 - 1

de

e

de

, temos que:

$y(t) = c_1e^{-2t} + c_2te^{-2t} - e^{-2t}\ln t$

Note que o livro exibe a resposta dessa maneira. Isso não significa dizer que foi considerado $Y(t) = -e^{-2t}\ln |t|$ como você disse.