Teorema do confronto

por **jemourafer** » Dom Abr 01, 2012 20:23

Como posso resolver essa questão?

" Seja f: R->R uma função tal que: x².cos(x) $\leq$ f(x) $\leq$ x.sen(x),
para todo x $\in$ $\left(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ . Prove que f é contínua em 0. "

por **NMiguel** » Dom Abr 01, 2012 21:00

Para mostrar que

é contínua em

, precisamos mostrar que $\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)$

Como $x^{2}\cdot \cos x\leq f(x)\leq x\cdot \sin x$ , então $0^{2}\cdot \cos 0\leq f(0)\leq 0\cdot \sin 0$ , ou seja, $0\leq f(0)\leq 0$ . Daqui podemos concluir que f(0)=0

Da mesma forma, se $x^{2}\cdot \cos x\leq f(x)\leq x\cdot \sin x$ , então, $\lim_{x \to 0}x^{2}\cdot \cos x\leq \lim_{x \to 0}f(x)\leq \lim_{x \to 0}x\cdot \sin x$

Como $\lim_{x \to 0}x^{2}\cdot \cos x =0^{2}\cdot \cos 0$ e $\lim_{x \to 0}x\cdot \sin x = 0\cdot \sin 0$ , porque ambas são funções contínuas, então $0^{2}\cdot \cos 0\leq \lim_{x \to 0}f(x)\leq0\cdot \sin 0$ ,ou seja, $0\leq \lim_{x \to 0}f(x)\leq 0$

Daqui podemos concluir que $\lim_{x \to 0}f(x)= 0$

Teorema do confronto

Teorema do confronto

Teorema do confronto

Re: Teorema do confronto

Quem está online