Relação entre antiderivadas e integrais

[Guill]

Eu tenho 16 anos e estou no terceiro ano do Ensino Médio. Minha curiosidade me levou a ler um livro sobre cálculo que envolve limites, derivadas e integrais. O livro é realmente bom mas na parte de integrais, ele não possui explicação para a relação entre antiderivadas e integrais, ele apenas afirma que a área abaixo de uma função pode ser calculada através da antiderivada. Depois de refletir muito, eu consegui imaginar algo, mas gostaria de saber de o que imaginei pode ser considerado verdadeiro:


Primeiramente, devemos compreender exatamente o que é inclinação de uma reta. A inclinação de uma reta é o valor que determina a variação da altura em relação ao comprimento da base. Se a inclinação de uma reta é 2, se eu tiver uma base de valor 2 a altura será 4. Se a base for 3, a altura será 6. Por isso, é possível encontrar a inclinação de uma reta dividindo a altura pela base.


Suponhamos uma função f(x) tal que essa função descreve uma curva. Suponhamos um ponto x = a teremos sua respectiva imagem f(a). Se supormos x = b, onde b > a, consideraremos . Tracemos uma reta vertical a partir do ponto x = b, de forma que essa reta tenha comprimento f(a). Conseguimos formar um retângulo de lados f(a) e , como na figura:

http://tinypic.com/r/2i6ihvl/5



Suponhamos agora, a curva expressa pela função F(x), que é a antiderivada de f(x). Se considerarmos o ponto (a ; F(a)), sabemos que a reta tangente a esse ponto possui inclinação f(a). A área do retângulo na função anteiror é a f(a)., ou seja, um comprimento multiplicado pela inclinação da tangente. Se marcarmos o ponto x = b no plano cartesiano da antiderivada, podemos olocar esse segmento ab como base da reta tangente, e a altura possui o valor exato da área do retângulo:


http://tinypic.com/r/2dhfzew/5


Se fizermos b tender a a, faremos com que , se torne , o diferencial de x. E faremos com que a área do retângulo tenda à área abaixo do ponto (a ; f(a)). Mas na função F(x), quando tende a , a altura, que representa a variação na reta, tende a ser a variação na curva.
Portanto, a área abaixo do ponto é a variação infinitesimalmente pequena na curva, o diferencial de y .


Para calcular a área abaixo de uma função, é preciso somar as infinitas á reas abaixo dos pontos na curva, que equivale a somar as infinitas minusculas variacões na antiderivada. Somando cada variação, encontramos a variação resultante. Logo, a área abaixo da curva é o valor da antiderivada.

[LuizAquino]

Eu tenho 16 anos e estou no terceiro ano do Ensino Médio. Minha curiosidade me levou a ler um livro sobre cálculo que envolve limites, derivadas e integrais. O livro é realmente bom mas na parte de integrais, ele não possui explicação para a relação entre antiderivadas e integrais, ele apenas afirma que a área abaixo de uma função pode ser calculada através da antiderivada. Depois de refletir muito, eu consegui imaginar algo, mas gostaria de saber de o que imaginei pode ser considerado verdadeiro:


Primeiramente, devemos compreender exatamente o que é inclinação de uma reta. A inclinação de uma reta é o valor que determina a variação da altura em relação ao comprimento da base. Se a inclinação de uma reta é 2, se eu tiver uma base de valor 2 a altura será 4. Se a base for 3, a altura será 6. Por isso, é possível encontrar a inclinação de uma reta dividindo a altura pela base.


Suponhamos uma função f(x) tal que essa função descreve uma curva. Suponhamos um ponto x = a teremos sua respectiva imagem f(a). Se supormos x = b, onde b > a, consideraremos . Tracemos uma reta vertical a partir do ponto x = b, de forma que essa reta tenha comprimento f(a). Conseguimos formar um retângulo de lados f(a) e , como na figura:

http://tinypic.com/r/2i6ihvl/5



Suponhamos agora, a curva expressa pela função F(x), que é a antiderivada de f(x). Se considerarmos o ponto (a ; F(a)), sabemos que a reta tangente a esse ponto possui inclinação f(a). A área do retângulo na função anterior é a f(a)., ou seja, um comprimento multiplicado pela inclinação da tangente. Se marcarmos o ponto x = b no plano cartesiano da antiderivada, podemos colocar esse segmento ab como base da reta tangente, e a altura possui o valor exato da área do retângulo:


http://tinypic.com/r/2dhfzew/5


Se fizermos b tender a a, faremos com que , se torne , o diferencial de x. E faremos com que a área do retângulo tenda à área abaixo do ponto (a ; f(a)). Mas na função F(x), quando tende a , a altura, que representa a variação na reta, tende a ser a variação na curva.
Portanto, a área abaixo do ponto é a variação infinitesimalmente pequena na curva, o diferencial de y .


Para calcular a área abaixo de uma função, é preciso somar as infinitas á reas abaixo dos pontos na curva, que equivale a somar as infinitas minusculas variacões na antiderivada. Somando cada variação, encontramos a variação resultante. Logo, a área abaixo da curva é o valor da antiderivada.

O que você imaginou é verdadeiro.

Apenas tome cuidado com a sua forma de se expressar. Ao falar coisas como "base da reta", "altura da reta" ou "comprimento da reta", nada disso faz sentido. Afinal de contas, uma reta não possui "base", "altura" ou "comprimento".

Ao falar sobre "altura" e "base", na verdade você está falando sobre os catetos de um triângulo retângulo, como ilustra a figura abaixo.

figura.png (3.59 KiB) Exibido 950 vezes

Falando agora diretamente sobre antiderivadas e integrais, o que relaciona formalmente esses dois conceitos é o Teorema Fundamental do Cálculo.

Por fim, eu gostaria de recomendar que você assista as videoaulas "Cálculo I - Integral Definida" e "Cálculo I - Teorema Fundamental do Cálculo". Elas estão disponíveis em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino