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[Limite] Indeterminação

[Limite] Indeterminação

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Nov 25, 2011 00:28

Pessoal, estou com problemas nesse limite:

\lim_{x\to0^{-}}(1-\cos(x))^{\frac{1}{x}}

Comecei assim:


\lim_{x\to0^{-}}(1-\cos(x))^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}\ln(1-\cos(x))}}

Então, tentei calcular \lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}\ln(1-\cos(x))}

\frac{1}{x} vai para -\infty, mas não entendi o \ln(1-\cos(x))}. Isso é a mesma coisa que calcular \lim_{x\to0^{-}}\ln(x), mas essa função nem existe para x negativo. No entanto, entrei no site wolframalpha e vi isso http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +ln%28x%29.

Ou seja, \lim_{x\to0^{-}}\ln(x)=-\infty

Como pode isso?
Aliocha Karamazov
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Re: [Limite] Indeterminação

Mensagempor LuizAquino » Sex Nov 25, 2011 10:20

Aliocha Karamazov escreveu:(...)
Então, tentei calcular \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}\ln(1-\cos(x))}

\frac{1}{x} vai para -\infty, mas não entendi o \ln(1-\cos(x))}. Isso é a mesma coisa que calcular \lim_{x\to 0^{-}}\ln(x)


Não é a mesma coisa.

Observe o círculo trigonométrico abaixo.

figura.png
figura.png (4.83 KiB) Exibido 1947 vezes


Note que para x próximo de 0 pela esquerda (ou seja, x é um ângulo próximo de zero e negativo), temos que 0 < \cos x < 1 . Isso significa que 1 - \cos x > 0 quando x\to 0^- .

Sendo assim, calcular \lim_{x\to 0^{-}} \ln(1-\cos x)} seria equivalente a calcular \lim_{x\to 0^+}\ln x .

Aliocha Karamazov escreveu:No entanto, entrei no site wolframalpha e vi isso http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +ln%28x%29

Ou seja, \lim_{x\to0^{-}}\ln(x)=-\infty

Como pode isso?


A explicação é simples: o programa errou.

Muito provavelmente o programa interpretou \ln x como se fosse \ln |x| .

Observação

Vale lembrar que um ângulo negativo significa que ele foi marcado no sentido horário. Já um ângulo positivo significa que ele foi marcado no sentido anti-horário. Veja um exemplo na figura abaixo.

ângulos.png
ângulos.png (6.9 KiB) Exibido 1947 vezes
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Re: [Limite] Indeterminação

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Nov 25, 2011 21:21

Entendi, Luiz. Obrigado.
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.