Olá!
Tenho duas dúvidas com a prova de implica (isto é, que se f é par, então sua derivada f' é ímpar).
Lembrando que:
A prova começa assim:
Mas aqui eu já tenho a primeira dúvida: se em o é na verdade algo como , como eu posso fazer substituindo por na expressão original, mas sem tocar no ? Parece-me que passaria a ser , mas então deixaria de ser .
Engolindo isso, a prova continua. Terei uma segunda dúvida. Continuando, há esses passos:
Aqui ok: como a função é par, os ficaram acima. E a seguir introduz-se um sinal de menos dentro e fora do limite. Ok também:
E nesse ponto toma-se e faz-se:
Isso é , concluindo a prova. Mas - segunda dúvida - me incomoda que, no símbolo de limite, a substituição seja em vez de . Isso não deveria fazer diferença? Não ficaria ali?
Agradeço a quem puder me ajudar.
P. S.: tirei essa demonstração do livro (e-book) de respostas do Cálculo vol. 6 (James Stewart).
Atualizado: já posso ver que tanto faz colocar ou no limite, porque se um tende a zero, o outro também. Essa é a explicação da segunda dúvida, certo? A primeira dúvida permanece. Pensando aqui...