Ajuda Matemática • Exibir tópico

por **nietzsche** » Qua Nov 02, 2011 23:56

Alguém poderia me ajudar com o seguinte exercício:

. Encontre a forma geral da solução da seguinte equação:
${u}_{x} + {u}_{y} = u$

. Existe solução dessa equação passando pela curva
C: (x, y, u) = (t, t, 1) , $t \in I \subset R$

Agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Dom Nov 06, 2011 12:37

Que métodos para resolver EDP você já estudou?

Você já estudou o Método das Características?

por **nietzsche** » Sáb Nov 12, 2011 11:27

Já estudei o método das características, sim. Mas não consegui resolver a segunda pergunta. Tinha caído em f(0) igual a alguma coisa. Assim, não consegui determinar a f. Se tiver alguma dica, me ajudará.

por **LuizAquino** » Sáb Nov 12, 2011 12:01

nietzsche escreveu:Já estudei o método das características, sim. Mas não consegui resolver a segunda pergunta. Tinha caído em f(0) igual a alguma coisa. Assim, não consegui determinar a f.

Por favor, envie a sua resolução para que possamos identificar o erro.

por **nietzsche** » Sáb Nov 12, 2011 15:11

Tentei fazer o seguinte:

1) $\frac{dx}{dt} = 1$

2) $\frac{dy}{dt} = 1$

3) $\frac{du}{dt} = u$

Usando 1 e 2:
x - y = a

Multiplicando 1) e 2) por u e 3) por -2:
u (x+y-2) = b

(a e b são constantes)

Assim:
u (x+y-2) = f(x-y)

Agora que vem o problema que tinha dito, se for escolher f que passe na curva C, vou determinar f(0) e não f num ponto qualquer.

Será que fiz o caminho errado?

por **LuizAquino** » Sáb Nov 12, 2011 21:16

nietzsche escreveu:Tentei fazer o seguinte:

1) $\frac{dx}{dt} = 1$

2) $\frac{dy}{dt} = 1$

3) $\frac{du}{dt} = u$

Usando 1 e 2:
x - y = a

Multiplicando 1) e 2) por u e 3) por -2:
u (x+y-2) = b

(a e b são constantes)

Assim:
u (x+y-2) = f(x-y)

Considere a parametrização x(t, s), y(t, s) e u(t, s). Note que:

$\frac{dx}{dt} = 1 \Rightarrow x = t + f(s)$

$\frac{dy}{dt} = 1 \Rightarrow y = t + g(s)$

$\frac{du}{dt} = u \Rightarrow u = h(s)e^t$

Considere que as condições iniciais são x(0, s) = x_0(s)

,

e

, temos que:

f(s)=x_0(s)

Desse modo, temos que:

$(x(t,\,s),\, y(t,\,s),\, u(t,\,s)) = \left(t+x_0(s),\, t+y_0(s),\, u_0(s)e^t\right)$

Agora tente terminar o exercício.

Observação

Seria interessante você consultar o livro:

Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. An Introduction to Partial Differential Equations. New York: Cambridge University Press, 2005. 384 p.

por **nietzsche** » Sáb Nov 12, 2011 22:43

Obrigado pela ajuda. Poxa, gostei muito do livro que vc indicou! Muito obrigado mesmo, esse livro vai me ajudar muito.
Vou tentar fazer como a dica que vc deu e também dar uma lida no livro. Depois posto no que cheguei.
Abraço

EDP

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Re: EDP

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