[Derivada]

por **Aliocha Karamazov** » Seg Out 31, 2011 18:20

Seja

, onde

é uma função derivável. Calcule $\frac{dy}{dt}$ no ponto t=1, supondo $\frac{dx}{dt}=2$ no ponto t=1 e x(1)=3

Eu pensei em fazer assim:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$ .

Como eu já tenho $\frac{dx}{dt}=2$

Só preciso calcular $\frac{dy}{dx}$ . Então:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}t^{2}x$

Mas, nesse caso, eu tenho que derivar em relação a x, certo? Ficaria apenas t^2

. Não entendi por que o exercício deu x(1)=3

.

O exercício parece ser bem simples, é que eu não entendi direito mesmo. Alguém poderia me ajudar?

por **LuizAquino** » Seg Out 31, 2011 20:56

Aliocha Karamazov escreveu:Seja , onde x=x(t) é uma função derivável. Calcule $\frac{dy}{dt}$ no ponto , supondo $\frac{dx}{dt}=2$ no ponto e

Note que y e x são funções de t.

Aplicando a regra do produto, temos que:

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(t^2x\right)$

$\frac{dy}{dt} = x\frac{d }{dt}\left(t^2\right) + t^2 \frac{dx}{dt}$

$\frac{dy}{dt} =2t x + t^2 \frac{dx}{dt}$

Agora use as informações do exercício.

Observação

Para você entender melhor porque usar a regra do produto e não a regra da cadeia como você fez, considere que y = f(t) e x = g(t). Nesse caso você tem:

f(t) = t^2g(t)

$f^\prime(t) = [t^2g(t)]^\prime$

$f'(t) = \left(t^2\right)^\prime g(t) + t^2g^\prime(t)$

$f'(t) = 2t g(t) + t^2g^\prime(t)$

Agora basta calcular $f^\prime(1)$ sabendo-se que g(1)=3

e $g^\prime(1)=2$ .

por **Aliocha Karamazov** » Ter Nov 01, 2011 16:25

Muito obrigado!

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