[calculo] limite

por **beel** » Dom Out 30, 2011 17:26

$\lim_{x\rightarrow\infty}x.(sen\frac{1}{x})$

Como resolvo?
Teria que resolver por L'Hospital certo?Mas nesse caso a indeterminação seria infinito.zero
e nao posso aplicar L'Hospital...assim inverti o x (= 1/x), assim obtive a indeterminação infinito/infinito...derivei os dois termos mas travei

por **LuizAquino** » Dom Out 30, 2011 17:33

Não precisa aplicar a Regra de L'Hospital para resolver esse limite.

Note que:

$\lim_{x\to +\infty} x\,\textrm{sen}\,\frac{1}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\textrm{sen}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$

Fazendo a substituição $u = \,\textrm{sen}\,\frac{1}{x}$ , quando $x\to+\infty$ temos que $u\to 0$ .

Desse modo, temos que:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\textrm{sen}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\,u}{u} = 1$

por **beel** » Dom Out 30, 2011 17:39

Entendi...mas se nao for pedir muito, queria ver como se resolve por L'Hospital, tenho receio que meu professor peça pra resolver por essa tecnica nas provas

por **LuizAquino** » Dom Out 30, 2011 17:47

Se ainda assim você quiser resolver esse limite pela Regra de L'Hospital, então note que:

$\lim_{x\to +\infty} x\,\textrm{sen}\,\frac{1}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\textrm{sen}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$

$= \lim_{x\to +\infty} \frac{\left(\textrm{sen}\,\frac{1}{x}\right)^\prime}{\left(\frac{1}{x}\right)^\prime}$

$= \lim_{x\to +\infty} \frac{-\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x\to +\infty} \cos \frac{1}{x} = 1$

Lembre-se que para calcular $\left(\textrm{sen}\,\frac{1}{x}\right)^\prime$ é necessário aplicar a Regra da Cadeia.