Limite.

por **380625** » Dom Out 23, 2011 20:28

Boa noite estou com dificuldades para calcular esse limite:

$\lim_{\((x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{\ x^2+y^2}$

Encurtando passos afirmo que esse limite precisa ser calculado pela definição, ou seja,

$\lim_{\((x,y)\to(a,b)}\frac{3x^2y}{\ x^2+y^2}=L$ se $\forall\varepsilon>0 \exists \delta>0$ sempre que (x,y) $\in$ D e $0<\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}<\delta$ . Economizando passos temos que o candidato ao limite é 0 e o ponto (a,b)=(0,0) então temos:

$\left|\frac {3x^2y} {x^2+y^2} \right|<\epsilon$ sempre que $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$

$\frac {3x^2\left|y \right|} {x^2+y^2}<\epsilon$ sempre que $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ . Mas

$x^2\leq x^2+y^2$ para $y\geq 0$ .

Logo.

$\frac{x^2} {x^2+y^2}\leq 1$

Assim (não entendo o que ele faz abaixo).

$\frac{3x^2\left|y \right|} {x^2 +y^2}\leq 3\left|y \right|=3\sqrt{y^2}\leq3\sqrt{x^2+y^2}$

de onde vem que $3\sqrt{y^2}\leq 3\sqrt{x^2+y^2}$ .

Sei que pode estar claro para muitos mas fico um pouco perdido com alguns passos.

Grato Flávio Santana.

por **LuizAquino** » Seg Out 24, 2011 17:55

380625 escreveu:Sei que pode estar claro para muitos mas fico um pouco perdido com alguns passos.

Exatamente quais passos você tem dúvidas?

por **380625** » Seg Out 24, 2011 23:34

Não entendo as duas ultimas linhas.

Onde digo não entendo o que ele faz abaixo.

por **LuizAquino** » Ter Out 25, 2011 12:46

380625 escreveu:Não entendo as duas ultimas linhas.

Onde digo não entendo o que ele faz abaixo.

Ok.

Você já entendeu que:

$\frac{x^2} {x^2+y^2}\leq 1$

Como 3|y| é positivo, ao multiplicar toda a inequação por essa expressão a inequação não muda de sentido. Isto é, podemos escrever que:

$\frac{x^2} {x^2+y^2} \cdot (3|y|)\leq 1\cdot (3|y|)$

Mas isso é o mesmo que:

$\frac{3x^2|y|} {x^2+y^2} \leq 3|y|$

Das propriedades de radiciação, sabemos que $\sqrt{y^2} = |y|$ . Temos então que:

$\frac{3x^2|y|} {x^2+y^2} \leq 3\sqrt{y^2}$

Das propriedades dos números reais, sabemos que $x^2 \geq 0$ para qualquer real x.

Somando-se a essa inequação a expressão y^2

em ambos os lados, temos que $x^2 + y^2 \geq y^2$ , para qualquer real y.

Note que ambos os lados dessa inequação são positivos. Calculando-se então a raiz quadrada em ambos os lados temos que $\sqrt{x^2 + y^2} \geq \sqrt{y^2}$ .

Sendo assim, podemos escrever que:

$\frac{3x^2|y|} {x^2+y^2} \leq 3\sqrt{y^2} \leq 3\sqrt{x^2 + y^2} \Rightarrow \frac{3x^2|y|} {x^2+y^2} \leq 3\sqrt{x^2 + y^2}$

Limite.

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