Limite

por **Claudin** » Dom Set 25, 2011 12:02

Alguém poderia me ajudar com essa lista de exercícios? :y:

Seja f a função definida por: $\begin{cases}-x^2+3,{se} & x\leq1\\ -2x+2,se & x>1\end{cases}$

a) A função f é contínua em x = – 1? Justifique sua resposta.

Para ser contínua

$\lim_{x{\rightarrow}-1}f(x)= f(-1)$

Portanto

$\lim_{x{\rightarrow}-1^+} -x^2+3\Rightarrow \lim_{x{\rightarrow}-1^+}(-1)^2+3= 2$

$\lim_{x{\rightarrow}-1^-} -x^2+3\Rightarrow \lim_{x{\rightarrow}-1^-}(-1)^2+3= 2$

Portanto, o limite existe e a função é contínua em x=-1.

Correto?

b) A função f é derivável em x = – 1? Justifique sua resposta.

Não consegui responder essa questo.

Seria: $f^\prime(-1)=-x^2+3 = -2x+3 = 5$

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x = – 1, se existir.

Não sei como determinar essa equação. Se eu tivesse f(a) e f(b) dava pra encontrar através do teorema do valor intermediário?

d) A função f é contínua em x = 1? Justifique sua resposta.

Para ser contínua em x=1
temos que:

$\lim_{x{\rightarrow}1}f(x)= f(1)$

$\lim_{x{\rightarrow}1^+}-2x+2 = -2(1)+2= 0$

$\lim_{x{\rightarrow}1^-}-x^2+3 = 3$

Pela diferença dos limites laterais conclui-se que o limite não existe, portanto, a função não é contínua pois:

$\lim_{x{\rightarrow}1}f(x)\neq f(1) e) Determine as derivadas laterais Para determinar essas derivadas seria assim: [tex]f^\prime_+(1)=-2x+2\Rightarrow f^\prime_+(1)= 0$

$f^\prime_-(1)=-x^2+3\Rightarrow f^\prime_+(1)= -2x+3= 1$

f) A função f é derivável em x = 1? Justifique sua resposta.

Sim.

Obs: tenho que analisar as derivadas laterais para ver se a derivada existe?

por **LuizAquino** » Ter Set 27, 2011 08:54

Claudin escreveu:Seja f a função definida por: $\begin{cases}-x^2+3,{se} & x\leq1\\ -2x+2,se & x>1\end{cases}$

a) A função f é contínua em x = – 1? Justifique sua resposta.

Para ser contínua

$\lim_{x{\rightarrow}-1}f(x)= f(-1)$

Portanto

$\lim_{x{\rightarrow}-1^+} -x^2+3\Rightarrow \lim_{x{\rightarrow}-1^+}(-1)^2+3= 2$

$\lim_{x{\rightarrow}-1^-} -x^2+3\Rightarrow \lim_{x{\rightarrow}-1^-}(-1)^2+3= 2$

Portanto, o limite existe e a função é contínua em x=-1.

Correto?

Você esqueceu de colocar o sinal de menos antes de (-1)^2

. Além disso, no momento final do cálculo do limite, você não deve mais colocar o símbolo de limite. Isto é, você deve escrever algo como:

$\lim_{x \to -1^+} -x^2+3 \Rightarrow -(-1)^2+3 = 2$

Faltou na sua justificativa dizer que f(-1) também existe e é igual a 2.

Claudin escreveu:b) A função f é derivável em x = – 1? Justifique sua resposta.

Não consegui responder essa questão.

Seria: $f^\prime(-1)=-x^2+3 = -2x+3 = 5$

Veja o que eu lhe respondi em seu outro tópico e tente terminar esse quesito:
Análise de derivável
viewtopic.php?f=120&t=6070

Claudin escreveu:c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x = – 1, se existir.

Não sei como determinar essa equação. Se eu tivesse f(a) e f(b) dava pra encontrar através do teorema do valor intermediário?

Se uma função f é derivável em c, então a reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)) será dada por:

$y - f(c) = f^\prime(c)(x - c)$

Claudin escreveu:d) A função f é contínua em x = 1? Justifique sua resposta.

Para ser contínua em x=1
temos que:

$\lim_{x{\rightarrow}1}f(x)= f(1)$

$\lim_{x{\rightarrow}1^+}-2x+2 = -2(1)+2= 0$

$\lim_{x{\rightarrow}1^-}-x^2+3 = 3$

Pela diferença dos limites laterais conclui-se que o limite não existe, portanto, a função não é contínua pois:

$\lim_{x{\rightarrow}1}f(x)\neq f(1)$

Você errou o cálculo do limite lateral pela esquerda. O valor correto é 2.

Claudin escreveu:e) Determine as derivadas laterais

Para determinar essas derivadas seria assim:

$f^\prime_+(1)=-2x+2\Rightarrow f^\prime_+(1)= 0$

$f^\prime_-(1)=-x^2+3\Rightarrow f^\prime_+(1)= -2x+3= 1$

Para determinar as derivadas laterais, precisamos saber em qual ponto se deseja que elas sejam calculadas. Eu vou assumir que seja no ponto x = 1. De qualquer modo, é estranho que o exercício não tenha informado isso diretamente.

As derivadas laterais em x = 1 são:

$f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{-2x}{x - 1} = -\infty$

$f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{-x^2 + 1}{x - 1} = - 2$

Claudin escreveu:f) A função f é derivável em x = 1? Justifique sua resposta.
Sim.

Obs: tenho que analisar as derivadas laterais para ver se a derivada existe?

Não é derivável em x = 1. Analise o que foi obtido no quesito anterior.

por **Claudin** » Qui Set 29, 2011 22:53

Não compreendi a letra a, b e c.

A letra d, com o limite lateral pela direita é igual a zero, e pela esquerda é igual a 2, portanto nao é contínua em x=1, pois f(1)=2, correto?

por **Claudin** » Qui Set 29, 2011 23:01

LuizAquino escreveu:Para determinar essas derivadas seria assim:

$f^\prime_+(1)=-2x+2\Rightarrow f^\prime_+(1)= 0$

$f^\prime_-(1)=-x^2+3\Rightarrow f^\prime_+(1)= -2x+3= 1$

Para determinar as derivadas laterais, precisamos saber em qual ponto se deseja que elas sejam calculadas. Eu vou assumir que seja no ponto x = 1. De qualquer modo, é estranho que o exercício não tenha informado isso diretamente.

As derivadas laterais em x = 1 são:

$f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{-2x}{x - 1} = -\infty$

$f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{-x^2 + 1}{x - 1} = - 2$

Claudin escreveu:f) A função f é derivável em x = 1? Justifique sua resposta.
Sim.

Obs: tenho que analisar as derivadas laterais para ver se a derivada existe?

Não é derivável em x = 1. Analise o que foi obtido no quesito anterior.[/quote]

Não consegui compreender como chegar ao resultado das derivadas laterais na letra d.

Por exemplo

$f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{-2x}{x - 1} = -\infty$

$f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{-x^2 + 1}{x - 1} = - 2$

como a derivada foi para menos infinito e menos dois?

A letra e, no caso, não é derivável pois as derivadas laterais são diferentes, correto?

por **LuizAquino** » Sáb Out 01, 2011 11:06

Claudin escreveu:Não compreendi a letra a, b e c.

Letra a)
Note que você verificou que $\lim_{x\to -1^-} -x^2 + 3 = \lim_{x \to -1^+} -x^2 + 3 = 2$ .

Entretanto, você não calculou o valor de f(-1) para comparar com o resultado desses limites.

Letra b)
Veja o que eu lhe respondi em seu outro tópico:

Análise de derivável
viewtopic.php?f=120&t=6070

Letra c)
No exemplo 2 da vídeo-aula "09. Cálculo I - Taxa de Variação", disponível em meu canal no YouTube, eu resolvi um exercício como esse.

Claudin escreveu:A letra d, com o limite lateral pela direita é igual a zero, e pela esquerda é igual a 2, portanto nao é contínua em x=1, pois f(1)=2, correto?

Nesse caso diremos que a função não é contínua em x = 1 pois $\lim_{x\to 1}f(x)$ não existe (já que os seus laterais são distintos).

É devido ao fato desse limite não existir, que nesse caso a igualdade $\lim_{x\to 1}f(x) = f(1)$ não pode ser verificada.

Claudin escreveu:Não consegui compreender como chegar ao resultado das derivadas laterais na letra d.

Por exemplo

$f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{-2x}{x - 1} = -\infty$

$f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{-x^2 + 1}{x - 1} = - 2$

como a derivada foi para menos infinito e menos dois?

Eu presumo que você está se referindo a letra e) e não d) como você escreveu.

Por definição, as derivadas laterais de uma função f no ponto x = c (se existem) são dadas pelos limites:

$f^\prime_+(c) = \lim_{x\to c^+} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$

$f^\prime_-(c) = \lim_{x\to c^-} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$

O que fiz foi simplesmente calcular esses limites.

Claudin escreveu:A letra e, no caso, não é derivável pois as derivadas laterais são diferentes, correto?

Eu presumo que você está se referindo a letra f) e não e) como você escreveu.

De fato, a função não é derivável em x = 1 pois as derivadas laterais nesse ponto são distintas.

por **Claudin** » Seg Out 10, 2011 14:29

Respondendo novamente, analisando os erros.

Seja f a função definida por: $\begin{cases}-x^2+3,{se} & x\leq1\\ -2x+2,se & x>1\end{cases}$

a) A função f é contínua em x = – 1? Justifique sua resposta.

Para ser contínua

$\lim_{x{\rightarrow}-1}f(x)= f(-1)$

Portanto

$\lim_{x{\rightarrow}-1^+} -x^2+3\Rightarrow \lim_{x{\rightarrow}-1^+}(-1)^2+3= 2$

$\lim_{x{\rightarrow}-1^-} -x^2+3\Rightarrow \lim_{x{\rightarrow}-1^-}(-1)^2+3= 2$

f(-1)=-x^2+3 = -(-1)^2+3=2

Portanto, o limite existe e a função é contínua em x=-1.

Correto?

b) A função f é derivável em x = – 1? Justifique sua resposta.

$f^\prime(-1)=\lim_{x\rightarrow{-1^+}}\frac{-x^2+3-2}{x-(-1)}$

$f^\prime(-1)=\lim_{x\rightarrow{-1^-}}\frac{-x^2+3-2}{x-(-1)1}$

não consegui prosseguir!

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x = – 1, se existir.

$y-f(-1)=f\prime(-1)(x-(-1))$

y-2=-2x(x+1)

Como prosseguir?

d) A função f é contínua em x = 1? Justifique sua resposta.

Para ser contínua em x=1
temos que:

$\lim_{x{\rightarrow}1}f(x)= f(1)$

$\lim_{x{\rightarrow}1^+}-2x+2 = -2(1)+2= 0$

$\lim_{x{\rightarrow}1^-}-x^2+3 = 2$

Pela diferença dos limites laterais conclui-se que o limite não existe, portanto, a função não é contínua pois:

$\lim_{x{\rightarrow}1}f(x)\neq f(1) e) Determine as derivadas laterais Para determinar essas derivadas seria assim: [tex]f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{-2x+2-(2)}{x - 1} = -\infty$
$f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \Rightarrow f^\prime_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{-x^2+3-(2)}{x - 1} \Rightarrow\frac{-(x+1)(x-1)}{(x-1)}= -(x+1) = -2$

f) A função f é derivável em x = 1? Justifique sua resposta.

Não, de acordo com o exercício anterior as derivadas laterais se diferem portanto , a função não é derivável em x=1.

OBS:Toda função derivável é contínua?

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