Integrais (problemas de valor inicial)

por **Anne2011** » Sex Set 16, 2011 16:26

Tô com problemas para chegar no resultado dessa integral:

$\frac{dv}{dt}=\frac{3}{t \sqrt[]{t²-1}}$ , t>1, v(2)=0

Integrando cheguei a esse resultado:

$\int_{}^{}\frac{dv}{dt}dt=3\int_{}^{}\left(\frac{1}{t\sqrt{t²-1}} \right)$
dv=3 arc sec t

No livro, a resposta é $dv=3 arc sec t- \pi$ ...

De onde raios saiu esse $\pi$ :?:

e não consegui tirar essa Â de dentro da raiz tbm não rsrsrs... Alguem poderia me ajudar???

por **MarceloFantini** » Sex Set 16, 2011 17:22

Talvez seja da condição inicial, pois na resolução da integral o resultado será $v = 3 \textrm{ arcsec } t + K$ , mas com a condição você encontra o valor de K.

por **Anne2011** » Sex Set 16, 2011 17:48

A condição inicial é t>1, v(2)=0, substituindo o valor de t do resultado por 2 (e eu sou pessima em arcs), significa então que o resultado de K seria esse:

$\kappa=3 arc sec t \kappa=3 arc sec 2 \kappa=-\frac{3\pi}{3} \kappa=-\pi$

Uma conclusão lógica apenas, não faço a mais minima ideia de pq $arc sec 2=-\frac{\pi}{3}$ ...

Alguem aí com uma luz para mim???

por **MarceloFantini** » Sex Set 16, 2011 18:02

A função $\alpha = \textrm{arcsec} t$ lê-se "o arco cuja secante é t", ou seja, você tem um ângulo $\alpha$ tal que $\sec \alpha = t$ . Vamos ao exercício para facilitar o entendimento: se $\alpha = \textrm{arcsec }2$ então $\sec \alpha = 2$ , mas $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ e daí $\frac{1}{\cos \alpha} = 2 \implies \cos \alpha = \frac{1}{2}$ . O valor de $\alpha$ que satisfaz é $\frac{\pi}{3}$ , e portanto $\alpha = \textrm{arcsec }2 = \frac{\pi}{3}$ . Então, temos $v(2) = 0 \implies 3 \textrm{ arcsec }2 +K = 0 \implies K = -3 \textrm{ arcsec }2 = - \pi$ .

por **Anne2011** » Sex Set 16, 2011 18:53

Obrigado Fantini vou copiar isso, tô apanhando aqui com as integrais que envolvem os arcos... tenho que dedicar um tempo extra às relações trigonométricas.