Vejamos como fazer utilizando as definições de limites.
Eu vou considerar que o símbolo
significa
.
Temos duas hipótese:
(i)
Por definição: para todo
, existe
tal que
sempre que
.
(ii)
Por definição: para todo
, existe
tal que
sempre que
.
A tese será:
(iii)
Por definição: para todo
, existe
tal que
sempre que
.
DemonstraçãoSeja
. Considere o número
.
Se
, então pela hipótese (ii) existe
tal que
sempre que
.
Se
, então pela hipótese (ii) existe
tal que
sempre que
. Mas como
, temos que
.
Por outro lado, sabemos que 1 é um número positivo. Portanto, pela hipótese (i) existe
tal que
sempre que
. Mas de
, nós obtemos que
. Ou seja, temos que
.
Tome
. Pelo que foi exposto acima, temos que para esse número
as duas inequações abaixo vão ocorrer sempre que
:
(1)
(2)
Somando (1) e (2), obtemos
.
Pela hipótese (ii), nas proximidade de
a a função
g é tal que
g > 0.
Além disso, perceba que das duas hipóteses podemos concluir que nas proximidade de
a as funções
f e
g são tais que
g >>
f (isto é,
g é muito maior do que
f).
Desse modo, teremos que nas proximidades de
a irá ocorrer |
f +
g| =
f +
g.
Logo, obtemos que
.
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