É possível aplicar D' Hospital?

por **clarivando** » Qua Dez 24, 2008 19:11

Molina, para aplicar Hospital em $\lim_{x\to0}\((senx)^x$ , ${0^0}$ , fiz $ln\lim_{x\to0}\((senx)^x$ = ln k e em seguida obtive ln k = $\lim_{x\to0}\(ln(senx)^x$ = $\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{x}\ln(senx)}{\frac{1}{x}}$ = $\lim_{x\to0}\frac{\ln(senx)}{\frac{1}{x}}$ = $\lim_{x\to0}\frac{-\infty}{\infty}$ , ou seja, não consegui encontrar $\frac{\infty}{\infty}$ e nem $\frac{0}{0}$ , mas afinal, de alguma maneira, será que é possível aplicar D' Hospital nesse limite? Ah, e obrigado por me esclarecer que no limite ln0 tende a menos infinito!

por **Molina** » Qua Dez 24, 2008 21:12

Boa noite, Clarivando.

Primeiramente, de nada pela ajuda anterior. Sempre é bom analisar graficamente um limite.

Agora vamos a esta dúvida.
Antes de tudo, quando você D' Hospital nao queria dizer L'Hopital? O nome deve-se a esse matemático aqui: http://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_ ... C3%B4pital que publicou a regra que levou seu nome.

Neste caso acho que nao dá pra usar a regra, pelo menos nao entendi quando voce foi de \lim_{x\to0}\((senx)^x para ln\lim_{x\to0}\((senx)^x Se possível me explique melhor.

Já tentou usar a regra da cadeia?

Abraços e bom estudo!
Ah, e um feliz natal.

por **Guill** » Dom Mai 27, 2012 16:47

Não é muito elegante aplicar o logaritmo neperiano no limite. Deve ser feito assim:

Seja y uma função tal que:

y = (senx)^x

Podemos fazer:

ln(y) = ln[(senx)^x]

Logo:

$\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}ln[(senx)^x]$

$\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(senx)}{\frac{1}{x}}$

Esse é um caso onde se pode aplicar o Teorema de L'Hospital:

$\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{cosx}{senx}}{\frac{-1}{x^2}}$

$\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x^2.cosx}{senx}$

Podemos usar novamente o Teorema:

$\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2x.cosx - x^2.senx}{cosx} = 0$

Uma vez que, quando $ln(y) \rightarrow 0 \Rightarrow y \rightarrow 1$ :

$\lim_{x\rightarrow 0} (senx)^x = 1$