comprimento do arco

por **liviabgomes** » Seg Mai 30, 2011 16:11

Calcular o comprimento do arco dado por y=(1/2)x³+[1/(6x)]-1 usando a fórmula da integral do arco.

fórmula: L= ?{1+ [f '(x)]^2)}^(1/2)*dx

ou: Imagem

podem me ajudar? brigada.

por **LuizAquino** » Seg Mai 30, 2011 19:06

Qual foi a sua dificuldade? Até onde você conseguiu resolver?

por **Claudin** » Seg Mai 30, 2011 20:14

Use o "Latex" ou "Editor de Fórmulas" ai facilita o entendimento de todos
fica mais fácil esclarecer sua dúvida também!

por **liviabgomes** » Seg Mai 30, 2011 22:39

ok, eu arrumei a fórmula para melhorar o entendimento. Se puderem me ajudar, essa questão vai ser muito importante pro trabalho. No momento da resolução eu derivo e aplico na fórmula, dai não sei se deixo em raiz e integro assim, ou se resolve primeiro a raiz e depois integro. brigada pela atenção

por **LuizAquino** » Ter Mai 31, 2011 00:03

Você tem a função $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{6x} - 1$ .

Desse modo, $f^\prime(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6x^2}$ .

Você precisa resolver a integral: $\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6x^2}\right)^2}\, dx$ .

Desenvolvendo o produto notável dentro do radical, isso é o mesmo que: $\int_a^b \sqrt{\frac{9}{4}x^4 + \frac{1}{36x^4} + \frac{1}{2}}\, dx$ .

Somando as frações: $\int_a^b \sqrt{\frac{81x^8 + 18x^4 + 1}{36x^4}}\, dx$ .

Agora termine o exercício. Aqui vai uma dica: podemos reescrever o numerador fazendo aparecer um produto notável do tipo (c + d)².

por **liviabgomes** » Ter Mai 31, 2011 11:58

muito obrigada pela ajuda, mas quando chega nessa parte é que eu tranco.. eu derivo com a raiz? ou tiro a raiz?

por **liviabgomes** » Ter Mai 31, 2011 11:58

muito obrigada pela ajuda, mas quando chega nessa parte é que eu tranco.. eu derivo com a raiz? ou tiro a raiz?

por **LuizAquino** » Ter Mai 31, 2011 16:45

liviabgomes escreveu:(...) eu derivo com a raiz? ou tiro a raiz?

Como assim "derivar com" ou "tirar a" raiz?

Em exercícios desse tipo, se for possível desenvolver o que está dentro do radical para obter algo do tipo $\sqrt{(c + d)^2}$ (com c + d positivo), então você pode simplificar ficando com (c + d) . Ou seja, você usará a propriedade $\sqrt{a^2} = a$ (desde que a seja positivo). Caso não seja possível, aí você deverá usar alguma técnica específica. Às vezes, por exemplo, usamos substituições trigonométricas.

No caso desse exercício, como eu disse na dica anterior, você irá conseguir usar um produto notável no numerador para realizar a simplificação.

por **liviabgomes** » Ter Mai 31, 2011 21:02

não estou conseguindo.. vou simplificar como se o numerador e o denominador são diferentes? eu transformo em produto notavel e mesmo assim nao da.. se puder me mostrar eu agradeceria muito.

por **LuizAquino** » Qua Jun 01, 2011 12:44

Eu farei um exemplo semelhante e você tenta fazer o seu.

Suponha que você tem a expressão $\sqrt{\frac{x^2 + 6x + 9}{4x^2}}$ , com x > -3.

Podemos simplificar da seguinte maneira:
$\sqrt{\frac{x^2 + 6x + 9}{4x^2}} = \sqrt{\frac{(x+3)^2}{4x^2}} = \frac{\sqrt{(x+3)^2}}{\sqrt{4x^2}} = \frac{x + 3}{ 2x}$ .