Integral

por **monicaoliveira** » Ter Abr 19, 2011 11:43

$\int_{Tg^2 Sec^3}xdx$

Pessoal, tg^2 x +1=Sec^2 $\int_{ tg^2 x +1=Sec^2}^{}$

Eu substitui e deu a soma de duas integrais mais complicadas $\int_{~(Tg^2). (Tg^2+1).(Secx) dx}^{}$
Aí me compliquei...

O livro só mostra a estratégia para a potência de secacnte par e para a potencia de tangente ímpar.
Mas daí eu não sei sair, preciso de ajuda urgente por favor!

por **LuizAquino** » Ter Abr 19, 2011 14:08

Usando a identidade $\textrm{tg}^2\,x + 1 = \sec^2 x$ , temos que:

$\int \textrm{tg}^2\,x \sec^3 x \, dx = \int \sec^5 x \, dx - \int \sec^3 x \,dx$ .

Agora, aplique a fórmula de recorrência:

$\int \sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\textrm{ tg}\,x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x\, dx$ , para $n \geq 2$ , com n natural.

Vale lembrar que no caso n=1 temos que:

$\int \sec x\,dx = \ln|\textrm{tg}\,x + \sec x| + c$ .

Observação
Você pode encontrar a demonstração dessa fórmula de recorrência em alguns livros de Cálculo. Por exemplo, no livro "Um Curso de Cálculo" (vol. 1) de Guidorizzi.

por **monicaoliveira** » Ter Abr 19, 2011 16:13

Muito obrigada Luiz, mas eu não sei usar a fórmula de recorrência.

MAs sei a resposta de $\int_{Sec^2}^{} e \int_{Sec^3}^{}$
Posso escrever dessa forma a resposta?

Tg* $\frac{1}{2}*\left(Secx Tgx+Ln\left|Secx+TgX \right| \right)$ - $\frac{1}{2}*\left(Secx Tgx+Ln\left|Secx+TgX \right| \right)$

por **LuizAquino** » Ter Abr 19, 2011 18:44

monicaoliveira escreveu:Muito obrigada Luiz, mas eu não sei usar a fórmula de recorrência.

Se você não sabe usá-la, então eu recomendo que estude um pouco mais. Ela será importante para resolver exercícios como este.

Veja um exemplo:
$\int \sec^5 x\,dx = \frac{\sec^{3}x\textrm{ tg}\,x}{4} + \frac{3}{4}\int \sec^{3} x\, dx$ .

Agora, você tem que continuar a resolução aplicando a fórmula de recorrência para $\int \sec^{3} x\, dx$ .

$\int \sec^5 x\,dx = \frac{\sec^{3}x\textrm{ tg}\,x}{4} + \frac{3}{4}\left(\frac{\sec x\textrm{ tg}\,x}{2} + \frac{1}{2}\int \sec x\, dx\right)$ .

$\int \sec^5 x\,dx = \frac{\sec^{3}x\textrm{ tg}\,x}{4} + \frac{3\sec x\textrm{ tg}\,x}{8} + \frac{3\ln|\textrm{tg}\,x + \sec x|}{8} + c$ .

monicaoliveira escreveu:MAs sei a resposta de $\int \sec^2 x\,dx$ e $\int \sec^3 x\,dx$ .
Posso escrever dessa forma a resposta?

Tg* $\frac{1}{2}*\left(Secx Tgx+Ln\left|Secx+TgX \right| \right) - \frac{1}{2}*\left(Secx Tgx+Ln\left|Secx+TgX \right| \right)$

Esta resposta não faz sentido.

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