Séries de Fourier de Funções Hiperbólicas

por **clecio** » Qua Abr 13, 2011 14:18

f(x)= cosh(x)senh(x) , x pertence (-pi,pi) e a função é 2pi periódica como resolvo esta questão utilizando Séries de Fourier ? Alguem sabe ajudar ? Obrigado

por **LuizAquino** » Qui Abr 14, 2011 23:32

Primeiro, sempre organize o seu texto. Do jeito que está escrito o exercício não está fazendo sentido.

Ao que parece, o que se quer é determinar a Série de Fourier para a função 2pi periódica dada por f(x)=cosh(x)senh(x) quando x pertence a (-pi, pi).

Primeiro, lembre-se que da definição de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, temos que a função f é equivalente a $f(x) = \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{4}$ no intervalo dado.

Sabemos que a Série de Fourier para uma função 2pi periódica que é integrável em [-pi, pi] é dada por

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos(nx) + b_n\textrm{sen}\,(nx)$ ,

sendo que

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\, dx$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\, dx$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\textrm{sen}\,(nx)\, dx$

com n=1, 2, 3, ...

Utilizando as propriedades da Série de Fourier, sabemos que para uma função 2pi periódica ímpar, temos que a_0 = a_n = 0

. Portanto, temos que calcular apenas b_n

.

Nesse exercício, usando integração por partes, teremos que

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{4}\textrm{sen}\,(nx)\, dx = \frac{-(e^{4\pi} - 1) n \cos (\pi n) - 2(e^{4\pi} + 1)\textrm{sen}\,(\pi n)}{2\pi{(n^2+ 4)e^{2\pi}}}$

Note que para qualquer n natural, temos que $\textrm{sen}\,(\pi n) = 0$ .

Por outro lado, se n é par, então $\cos (\pi n) = 1$ ; se n é ímpar, então $\cos (\pi n) = -1$ . Desse modo, $\cos (\pi n) = (-1)^n$ , com n natural.

Sendo assim, teremos que

$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}(e^{4\pi} - 1)n}{2\pi{(n^2+ 4)e^{2\pi}}}\textrm{sen}\,(nx)$

A figura a seguir ilustra a aproximação de f no intervalo (-pi, pi) com k termos:

$f(x) \approx \sum_{n=1}^{k} \frac{(-1)^{n+1}(e^{4\pi} - 1)n}{2\pi{(n^2+ 4)e^{2\pi}}}\textrm{sen}\,(nx)$ , com k=1, 2, 3, ..., 32.