Derivadas de Logaritmos

por **Moura** » Sex Jan 14, 2011 12:16

Determine as derivadas de y em relação a x:

1) $y=ln\frac{1}{x.\sqrt[]{x+1}}$

Resp.: $-\frac{3x+2}{2x(x+1)}$

2) $y=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$

Resp.: $\frac{-1}{(x+1)(x-1)}$

Desde de já agradeço. :y:

por **Elcioschin** » Sex Jan 14, 2011 14:12

Vou fazer a primeira para você aprender:

Lembre-se que Dx lnu = (1/u)*Dx(u)

No teu caso u = 1/x*V(x + 1) = 1/x*(x + 1)^(1/2) ----> 1/u = x*V(x + 1) = x*(x + 1)^(1/2)

Dx(u) = Dx[1/x*V(x + 1)] ---> Dx(u) = Dx[x*(-1)*(x + 1)^(-1/2)] ----> Dx(u) = x^(-1)*[(-1/2)*(x + 1)^(-3/2] + (x + 1)^(-1/2)*[-1*x^(-2)]

Dx(u) = - 1/2*x*(x + 1)^(3/2) - 1/x²*(x + 1)^(1/2)

y' = [x*(x + 1)^(1/2)]*[- 1/2*x*(x + 1)^(3/2) - 1/x²*(x + 1)^(1/2)]

y' = - 1/2*(x + 1) - 1/x

y' = - (3x + 2)/2*x*(x + 1)

por **Moura** » Sex Jan 14, 2011 15:13

Agradeço a ajuda mais não consigo entender dessa maneira, poderia, por favor, escrever com formula matemática usando o editor.

Obrigado.

por **Moura** » Sex Jan 14, 2011 16:00

Seria isso o que está escrito acima ?

$Dx lnu=\frac{1}{u}*u'$

$u=\frac{1}{x.\sqrt[]{x+1}}=\frac{1}{x(x+1){}^{1/2}}\rightarrow\frac{1}{u}=x.\sqrt[]{x+1}=x(x+1){}^{\frac{1}{2}}$

$Dx(u)=Dx(\frac{1}{x.\sqrt[]{x+1}})$

$Dx(u)=Dx(x^{-1}(x+1)^{\frac{-1}{2}})$

$Dx(u)=x^{-1}(-\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{3}{2}})+(x+1)^{-1/2}(-1x^{-2})$

$Dx(u)=\frac{-1}{2x(x+1)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{x^2(x+1)^{1/2}}$

$y'=[x(x+1)^{\frac{1}{2}}](\frac{-1}{2x(x+1)^\frac{3}{2}}-\frac{1}{x^2(x+1)^{1/2}})$

$y'=-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{x}$

$y'=-\frac{3x+2}{2x(x+1)}$

por **Elcioschin** » Sex Jan 14, 2011 18:05

Moura

Agradeço a sua excelente ajuda. Ficou mais fácil visualizar.
Há necessidade apenas de uma pequena correção, na 5ª linha

a) Colocar um colchete logo após x^(-3/2)]
b) Corrigir o final: [(-1)*x^(-2)]

Infelizmente eu não tenho poderes para editar sua mensagem. Por isto solicito a você o obséquio da fazê-lo.

E agradeço novamente

Elcio