Demonstração de fórmulas de derivadas

por **victoreis1** » Qua Nov 24, 2010 20:09

Há pouco venho estudando derivadas, e consigo tranquilamente calcular derivadas de polinômios.. mas quando tento calcular derivadas de exponenciais, por exemplo, 2^x

, usando a fórmula abaixo:

$f^\prime(x)\ = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

não consigo.. procurei pela fórmula de derivadas de exponenciais e a encontrei, mas detesto decorar algo sem saber por quê..

Ficaria muito grato se alguém pudesse demonstrá-la pra mim, já procurei em vários lugares e não achei demonstrações..

por **MarceloFantini** » Qui Nov 25, 2010 00:43

Para fazer essa demonstração você usa um truque, que é converter para e^x

. Veja:

$y=a^x \iff \ln y = x \ln a \iff y = e^{x \ln a}$

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{(x + \Delta x)\ln a} - e^{x \ln a}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x \ln a} \cdot e^{\Delta x \ln a} - e^{x \ln a}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x \ln a} (e^{\Delta x \ln a} - 1)}{\Delta x} \cdot \frac{\ln a}{\ln a}$

$= \ln a \dot e^{x \ln a} = a^x \ln a$

Eu multipliquei por $\frac{\ln a}{\ln a}$ para fazer aparecer o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1$ .

Portanto, a derivada de 2^x

é $2^x \ln 2$ .

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Re: Demonstração de fórmulas de derivadas

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