[Integrais] Integral dupla com módulo

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[Integrais] Integral dupla com módulo

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[Integrais] Integral dupla com módulo

Mensagempor fabiocr93 » Ter Out 13, 2015 18:38

Olá. Estou com dúvida. Já vi outras resoluções por aqui e tentei seguir as solução adotadas mas não obtive êxito.
Este exercício é do Cálculo B, da Flemming, de número 2.L, da página 242.
Devo esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:

\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\left|x + y \right|dxdy

A solução dada pelo livro é 4/3.

O que fiz foi avaliar a região de integração e em seguida desenhar esta. Depois, avaliei a função módulo em questão e estabeleci os limites para os quais "o sinal troca".
Em seguida integrei para cada parte da função módulo e segui com a integral "de fora", mas obtive resposta 2. Tentei resolver pela HP 50g e obtive a resposta 1. A resposta está correta? Como devo resolver?
Segue imagem da minha resolução:
Imagem

No Wolfram Alpha eu obtive a resposta correta. O que assegura que o livro está certo:
http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... gjieqlrff9
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Re: [Integrais] Integral dupla com módulo

Mensagempor adauto martins » Sex Out 16, 2015 18:22

\left|x+y \right|=x+y...se x+y\succeq 0
\left|x+y \right|=-(x+y)...se x+y \prec 0
I=\int_{0}^{1}(\int_{-1}^{1}\left|x+y \right|dx)dy=I=\int_{0}^{1}(\int_{-1}^{-y}-(x+y)dx+\int_{-y}^{0}-(x+y)dx+\int_{0}^{1}(x+y)dx)dy==I=\int_{0}^{1}(-{x}^{2}-xy)[-1,-y]+(-{x}^{2}/2-xy)[-y,0])+({x}^{2}/2+xy[0,1])dy=
\int_{0}^{1}(-({-y})^{2}/2-(-y)y-({-1})^{2}/2-(-1)y)+(-({-y})^{2}/2-(-y)y+0+{1}^{2}/2+1.y+0)dy=\int_{0}^{1}(-{y}^{2}/2+{y}^{2}-1/2+y-{y}^{2}/2+{y}^{2}+1/2+y)dy=\int_{0}^{1}({y}^{2}+2y)dy={y}^{3}/3+{y}^{2})[0,1]=1/3+1=4/3...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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